8.Первообразная. Неопределенный интеграл

9. Основные свойства неопределенного интеграла

10. Интегралы от основных элементарных функций.

В приведенной ниже таблице основных интегралов u может обозначать

как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной

u =  φ (x) , т. е. таблица написана с учетом свойства инвариантности (9).

Таблица основных интегралов

Таблица неопределённых интегралов

при

Правила интегрирования

	Если , то

11. Методы интегрирования (метод замены переменой и интегрирование по частям).

Метод замены переменной

Наиболее общим приемом интегрирования функций является метод

замены переменной (метод подстановки), который применяется тогда, когда

искомый интеграл ∫ f (x)dx не является табличным, но путем ряда преобразо-

ваний он может быть сведен к табличному интегралу.

Способ подстановки основан на применении следующей формулы:

где для перехода от переменной x к переменной t используются формулы:

Часто употребляется обратная замена переменной, т.е. подстановка

Интегрирование по частям

Пусть u = u(x) и v = v(x)– две дифференцируемые функции от x .

Дифференциал произведения двух функций uv вычисляется по формуле

d(uv)= udv + vdu .

Интегрируя, получаем uv = ∫udv + ∫vdu , или

∫udv = uv - ∫vdu (13)

Формула (13) называется формулой интегрирования по частям. Этой

формулой пользуются тогда, когда интеграл ∫udv невозможно свести к таб-

личному интегралу с помощью подстановки или труднее найти, чем интеграл

∫ vdu .

Метод интегрирования по частям применяют при вычислении интегра-

лов вида:

12. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (задача о вычислении площади криволинейной трапеции).

(см. тетрадь)

13.Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.

Определение. Определенным интегралом от функции f (x) на отрез-

ке [a,b] называется конечный предел ее энной интегральной суммы, когда

число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наи-

большего из них стремится к нулю.

Из определения следует, что определенный интеграл зависит только

от вида функции f (x) и пределов интегрирования, но не зависит от пере-

менной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой, т.е.:

Функция, для которой существует предел (2), называется интегри-

руемой на отрезке [a,b].

Основные свойства определенного интеграла

Это понятно и с геометрической точки зрения: основание криволинейной трапеции имеет длину, равную нулю, следовательно, и площадь ее

рана нулю.