Контрольные вопросы

1. Что называется сдвигом?

2. Как формулируется закон Гука при сдвиге?

3. Что называется кручением?

4. Как рассчитать вал на прочность и жесткость?

4. Изгиб

Изгиб – такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях тела под действием внешних сил возникают изгибающие моменты.

Различают:

Чистый изгиб – действует только изгибающий момент.

Поперечный изгиб – действуют изгибающий момент и поперечная сила.

Сложное сопротивление – действуют несколько силовых факторов.

В соответствии с характером деформации, на рис. 4.1 показано правило знаков при изгибе.

Q

Q

Q

Q

Рис. 4.1. Правило знаков при изгибе

Для нахождения внутренних силовых факторов используется метод сечений, при котором стержень мысленно разрезается на две части и рассматривается равновесие какой-то одной части.

При оценке прочностной надежности стержня следует установить сечения, в которых внутренние силовые факторы имеют максимальное значение. Для этого строятся эпюры поперечных сил и изгибающих моментов вдоль центральной оси стержня. Рассмотрим несколько примеров построения эпюр (рис.4.2, 4.3, 4.4, 4.5).

Пример 5. Определить изгибающие моменты и поперечные силы для балки (рис.4.2).

Рис. 4.2. Расчетная схема и схема построения эпюр

Из условий равновесия определим реакции опор RА и RВ

,

Составим уравнение поперечных сил на участке I:

Найдем изгибающие моменты:

Участок II ( )

П ример 6. Определить изгибающие моменты и поперечные силы для случая равномерно распределенной нагрузки (рис. 4.3).

Из уравнений равновесия действующей системы сил определим реакции R_A, R_В.

Составим уравнение для полученных сил на отрезке:

;

;

Запишем уравнения для изгибающего момента:

;

;

;

Пример 7. Определить изгибающие моменты и поперечные силы для защемленной балки (рис. 4.4.).

Из уравнений равновесия определим реакции заделки:

Составим уравнение для поперечных сил и изгибающего момента

Определим значение поперечной силы и момента, для точек с координатами х₁=0, х₁=l:

Пример 8. Определить изгибающие моменты и поперечные силы для балки на двух опорах с консолями (рис. 4.5.).

Решение: Запишем уравнения поперечной силы и изгибающего момента на отрезке:

Соответственно для:

;

На отрезке:

,

,

при ,

,

.

.

На отрезке:

.

По этим данным построим эпюры Q(х) и М_И(х) (рис.4.5).

Основные свойства эпюры поперечной силы Q. На участках балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра ограничивается прямой линией, параллельной оси балки. На участках, где имеется распределенная нагрузка, эпюра ограничивается прямой линией, наклонной к оси. В случае неравномерно распределенной нагрузки (треугольной, произвольной и т.д.) эпюра ограничивается параболой. Там, где приложена сосредоточенная нагрузка, на эпюре наблюдается скачок на величину и по направлению силы.

Основные свойства эпюры изгибающего момента М_и . На участках балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра ограничивается прямой линией (параллельной или наклонной к оси). На участках балки, где имеется равномерно распределенная нагрузка, эпюра изгибающего момента ограничивается кривой – параболой второго порядка, выпуклостью навстречу нагрузке. В случае неравномерно распределенной нагрузки, эпюра ограничивается кривыми более высокого порядка.

В сечении, где приложена сосредоточенная пара сил, на эпюре наблюдается скачок на величину и по направлению знака момента пары. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре изгибающего момента будет излом.

Там, где поперечная сила равна нулю, на эпюре М_и будет экстремум.

Для установления связи между изгибающим моментом и поперечной силой очень часто используется теорема Журавского.

Рассмотрим балку, показанную на рис. 4.6.

Проведем сечение и вычислим изгибающий момент в сечении и поперечную силу:

,

Производная от изгибающего момента по х равна поперечной силе:

(4.1)

Производная от поперечной силы равна распределенной нагрузке:

. (4.2)

С помощью полученных дифференциальных зависимостей можно проверить правильность построения эпюр моментов и поперечных сил.

Определим напряжение в стержне при чистом изгибе.

Чтобы установить закон распределения и величину внутренних сил, возникающих в поперечном сечении балки, необходимо использовать условие деформации балки.

Рассмотрим деформацию балки под действием изгибающих моментов (рис. 4.7).

A

C

Слой балки, не испытывающий при изгибе ни растяжения, ни сжатия называется нейтральным слоем.

Рассмотрим OEF и Fnn₁, они подобны. Из их подобия следует

. (4.3)

Так как - относительное удлинение, то ,

где радиус кривизны нейтрального слоя балки;

y – расстояние от нейтральной оси до рассматриваемого волокна.

По закону Гука

. (4.4)

Определим величину напряжений исходя из условий равновесия (рис. 4.8.)

Рис.4.8. Расчетная схема балки

или . (4.5)

Уравнение равновесия

.

Отсюда - статический момент площади сечения относительно оси Х, т.е. нейтральной оси.

Тогда изгибающий момент

(4.6)

Откуда , (4.7)

где - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси;

- жесткость.

. (4.8)

.

Максимальное напряжение

, (4.9)

где - момент сопротивления изгибу.

Максимальное напряжение возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Условие прочности по допускаемым напряжениям

(4.10)

П риведем формулу для определения величины W для простейших сечений:

1. Прямоугольник (рис.4.9),

2. Круг ;

3. Кольцо .

Так как вблизи нейтральной оси материал мало напряжен, то выгодно больше материала располагать дальше от нейтральной оси. Поэтому довольно редко применяют металлические балки прямоугольного сечения, а используют профильные прокатные балки таврового, двутаврового, уголкового, швеллерного и других сечений. Очевидно, что сечения с одинаковым погонным весом, но различной формы имеют различный момент сопротивления. Для поперечных сечений сплошной формы, например, проката (уголка, швеллера, двутавра) значения моментов инерции и моментов сопротивления выбираются из таблиц.