достигается при y = 0, и это уравнение превращается в следующее: sin π2x = 22 , откуда следует, что х = 12 .

Заметим, что если в функции выигрыша поменять местами х и y, то она не изменится, следовательно, эта функция выпукла и по y при всех х[0;1]. Поэтому у игрока 2 существует оптимальная стратегия yo, определяемая из уравнения

Решением последнего уравнения будет yo = 0. Следовательно, игрок 2 имеет оптимальную стратегию yo = 0.

4.ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР

В3-й главе уже упоминались матричные игры – один из наиболее важных типов антагонистических игр. Теория матричных игр разработана более подробно по сравнению с общей теорией антагонистических игр. Известны различные алгоритмы поиска оптимальных стратегий игроков в матричной игре, они в большинстве своём наглядны и просты в применении, выбор алгоритма зачастую определяется размерностью матрицы.

Рассмотрим примеры поиска седловой точки в матричной игре. Поиск проводится так: проверяется истинность соотношения минимакса, если оно выполняется, то седловые точки – это все пары стратегий 1-го и 2-го игроков (каждой паре соответствуют номер строки и номер столбца), выигрыш при которых равен цене игры, а также минимален среди выигрышей - элементов строки и максимален среди выигрышей - элементов столбца. Если же соотношение минимакса не выполнено, то седловых точек нет.

Пример 4.1.

Седловой точкой является пара (3,1), при которой υ = v =v = 2.

Заметим, что хотя выигрыш в точке (3,3) также равен 2 =v =v , она не является седловой точкой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.

Пример 4.2.

Из матрицы выигрышей видно, что v < v , т.е. данная матрица не имеет

седловой точки. Если игрок 1 выбирает свою максиминную (ту, что гарантирует ему выигрыш в размере нижней цены игры) стратегию i = 2, то игрок 2, выбрав свою минимаксную (ту, что гарантирует ему проигрыш в размере не большем, чем верхняя цены игры) стратегию j = 2, проиграет только 20. В этом случае игроку 1 выгодно выбрать стратегию i = 1, т.е. отклониться от своей максиминной стратегии и выиграть 30. Тогда игроку 2 будет выгодно выбрать стратегию j = 1, т.е. отклониться от своей минимаксной стратегии и проиграть 10. В свою очередь игрок 1 должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы выиграть 40, а игрок 2 ответит выбором 2-й стратегии.

Пример 4.3.

Рассмотрим игровую матрицу, в которой один из элементов (а именно, a33) неизвестен. Обозначим этот элемент x. Установим, при каких значениях x в матрице есть седловые точки.

Таким образом, матрица имеет седловую точку при x=3. Это точка (3,3). Других седловых точек в матрице нет. Выигрыш в точке (2,1) также равен 3, но она не является седловой точкой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей первого столбца.

Можно легко найти и другие матрицы, не имеющие седловых точек (в частности, из примеров 3.1 и 3.2). Более того, можно утверждать, что и в реальной ситуации матрица, которой задается игра, чаще всего не имеет седловых точек. Таким образом, игроки не имеют оптимальных стратегий,

которую один из игроков может изменить с выгодой для себя. Значит, игрокам следует искать дополнительные стратегические возможности для того, чтобы гарантировать себе больший выигрыш и меньший проигрыш соответственно. Можно более широко понимать стратегию как объект: не только как действие, но в общем случае еще и как правило, по которому выбирается действие. Таким образом, выбор игроков значительно расширяется. Один из возможных путей - выбирать свои стратегии случайно, то есть задать распределение вероятностей на множестве своих стратегий, а после этого предоставить выбор конкретной стратегии соответствующему случайному механизму.

Итак, выбор игроком своей стратегии с заранее заданной вероятностью является одним из способов действия, то есть в определенном смысле тоже стратегией. Для отличия стратегий такого вида от первоначально заданных стратегий их называют смешанными стратегиями, а первоначально заданные (то есть строки или столбцы матрицы) - чистыми стратегиями. Переход к смешанным стратегиям позволяет получить большинство важных результатов, относящихся к матричным играм. Более того, можно сказать, что только этот переход позволяет полностью решить игру.

Определение. Смешанной стратегией игрока 1 в матричной игре называется распределение вероятностей на множестве его чистых стратегий,

то есть любой векторx = (x1 ,..., xn ), обладающий свойствами:

i=1

Смешанной стратегией игрока 2 в матричной игре называется распределение

Таким образом, множество смешанных стратегий бесконечно. Применение смешанных стратегий превращает процесс игры в некоторое случайное испытание, исходами которого являются ситуации игры, то есть пары (i,j). Это случайное испытание называется ситуацией в смешанных стратегиях и обозначается через (x, y). Отсутствие обмена информацией

между игроками в антагонистической игре делает случайные принятия ими решения о своих стратегиях i и j независимыми. Поэтому каждая ситуация (i,j) реализуется с вероятностью хi yj. Поскольку в этой ситуации игрок 1 получает выигрыш aij, математическое ожидание его выигрыша равно

i=1 j=1

Определение. Матричной игрой (со смешанными стратегиями) называется тройка Г=(Х, Y, F), где Х - множество векторов,

формулой (4.7).

В дальнейшем под матричной игрой понимается объект, заданный именно таким определением.

ТЕОРЕМА 4.1(основная теорема теории матричных игр). Любая матричная игра имеет седловую точку в смешанных стратегиях.

Доказательство. Покажем, что в данном случае выполнены все условия теоремы 3.4.

Ограниченность Х и Y вытекает из условий (4.1)-(4.4). Докажем замкнутость и выпуклость этих множеств. Доказательство проведем для Х, для Y оно аналогично.

принадлежит Х. Таким образом, Х является выпуклым.

Непрерывность функции F (x, y) , вогнутость по x и выпуклость по y

вытекает из ее линейности.

Таким образом, матричная игра Г=(Х, Y, F) удовлетворяет всем условиям теоремы 3.4.

Следовательно, в ней существует седловая точка, что и требовалось доказать.

Утверждение леммы вытекает непосредственно из соотношений (4.7), (4.5) и (4.6).

Замечание.

оптимальной стратегией игрока 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

седловая точка, т.е. справедливо соотношение (3.4), из которого с учетом (4.13) вытекает выполнение условий (4.14) и (4.15).

Достаточность. Пусть υ - цена игры и при всех y F (x0 , y) ≥υ. Пусть ( x′, y′) – седловая точка, т.е. верно условие

x F (x, y′) ≤ F(x0 , y′) . Эти соотношения в совокупности означают, что ( x0 , y′) – седловая точка и, следовательно, x0 - оптимальная стратегия первого игрока. То, что y0 - оптимальная стратегия второго игрока, доказывается аналогично.

ТЕОРЕМА 4.3. Множество оптимальных стратегий каждого игрока ограничено, замкнуто и выпукло.

Доказательство. Пусть Х0 – множество оптимальных стратегий игрока 1, Y0 –множество оптимальных стратегий игрока 2. Доказательство проведем для Х0.

Ограниченность Х0 вытекает из ограниченности множества Х и

включения Х0 Х.

Для доказательства замкнутости Х0 достаточно показать, что для любой последовательности стратегий на Х0 предел этой последовательности также

4.2 F (x k , y) ≥υ при всех k и у. Переходя в этом неравенстве к пределу при k → ∞, с учетом непрерывности F (x, y) получаем справедливость для x0 соотношения (4.14). Таким образом, данная стратегия оптимальна.

оптимальной стратегией игрока 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Для того, чтобы y0 была оптимальной стратегией игрока 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

непосредственно из теоремы 4.2. Доказательство достаточности проведем

Для любого фиксированного y справедливо равенство

Таким образом, соответствующие максимумы и минимумы достигаются на чистых стратегиях.

вероятностью входят только те чистые стратегии, которые дают результат υ

относительно x0 . Для y0 доказательство аналогично.

Определение. Вектор a называется выпуклой комбинацией векторов a1 ,..., al , если существуют такие числа λ1,..., λl , что λk ≥ 0 при всех k=1,…, l.

Определение. Будем говорить, что вектор a = (a1 ,..., a p ) доминирует вектор b = (b1 ,..., b p ) , если ak ≥ bk при всех k=1,…, p. Будем говорить, что вектор a = (a1 ,..., a p ) строго доминирует вектор b = (b1 ,..., b p ) , если ak > bk

при всех k=1,…, p.

ТЕОРЕМА 4.7. Если в матричной игре с матрицей А=(а ij), i=1,…,n; j=1,…,m i0-я строка строго доминируется выпуклой комбинацией других строк, то i0-я чистая стратегия игрока 2 не входит с положительной вероятностью ни в одну его оптимальную стратегию и, следовательно, при решении игры i0-я строка может быть вычеркнута из матрицы. Если j0-й столбец матрицы строго доминирует выпуклую комбинацию других столбцов, то j0-я чистая стратегия игрока 2 не входит с положительной вероятностью ни в одну его оптимальную стратегию и, следовательно, при решении игры j0-й столбец может быть вычеркнут из матрицы.

Доказательство. Пусть i0-я строка матрицы строго доминируется выпуклой комбинацией других строк, то есть существуют такие индексы