§4 Определённый интеграл.

1. Определение определённого интеграла. Пусть функция определена на отрезке , . Разобьём этот отрехок на n произвольных частей точками a= . В каждом из полученных частичных отрезков [ выберем произвольную точку и составим сумму (1)

(1)

где . Сумма вида (1) называется интегральной суммой для функции на

Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения: .

Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при 𝜆→0, то этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается следующим образом:

I= или

В этом случае функция называется интегрируемой на Числа a и b нахываются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.

Для интегрируемой функции достаточно её непрерывности на отрезке

Пример 1. Используя определение, вычислить интеграл , где С – некоторое число.

Решение. Разобьём отрезок [a,b] на n произвольных частей точками a= и составим соответствующую интегральную сумму (1). Так как подынтегральная функция постоянна, то для любого выборв промежуточных точек получим интегральную сумму вида . Далее имеем

Видим что интегральная сумма для данной функции не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек и равна . Следовательно, и её предел при равен той же

величине.

Таким образом, по определению,

2.Основные свойства определенного интеграла.

1⁰. По определению,

2⁰. По определению,

3⁰. Каковы бы ни были числа всегда имеет место равенство

4⁰.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

5⁰.Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.

3. Формула Ньютона-Лейбница. Если функция непрерывна на отрезке и функция является некоторой её первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона-Лейбница

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Так как одной из первообразных для функции является функция

, то, применяя формулу Ньютона- Лейбница, получаем

Вычислить интегралы:

254.

255.

256.

257.

258.

259.

260.

261.

262.

263.

264.

265.

266.

267.

268.

269.

270.

271.

272.

273.

274.

275.

276.

277.

278.

279.

280.

281.

282.

283.

284.

285.

286.

287.

288.

289.

Глава 7.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Определители

1. Определители второго порядка. Определение 1. Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством

= ₁b₁- ₂b₂.

Числа ₁, _2, b₁, b₂ называются элементами определителя.

Вычислить определители:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

2. Определители третьего порядка. Определение 2. Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом.

Δ =

и определяемое равенством

Δ= b₂c₃+ b₁c₂ ₃ + c₁b₂ ₃ - c₁b₂ ₃ - b₁ ₂c₃ - ₁c₂b₃. (1)

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (1) берутся со знаком «+», а какие со знаком «-», полезно использовать следующее правило треугольников:

Это правило позволяет легко записать формулу (1) и вычислить данный определитель.

Вычислить определители:

8. . 9. . 10. .

11. . 12. . 13. .