§3. Сравнение бесконечно малых

Функция называется бесконечно малой при (или в точке ˳), если . Пусть α(x) и (x) – две бесконечно малые функции при Тогда:

1. Если , то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем (x);

2. Если (А – число), то и (x) называется бесконечно малой одного порядка;

3. Если , то и (x) называются эквивалентными бесконечно малыми. Эквивалентность обозначается так: (x) при ˳;

4. Если = A , то α(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно (x).

Аналогичные определения имеют место для случаев и

При сравнении бесконечно малых функций часто используют символ ο («ο малое»). Если функция в точке - бесконечно малая более высокого порядка, чем бесконечно малая (x) в этой же точке, то это условно записывается Например,  (x) при

Пример 1. Доказать, что при функции – бесконечно малая более высокого порядка, чем

Решение. Действительно, , так как, по условию, k-1>0.

Пример 2. Доказать, что при x→0 функции и — бесконечно малые одного порядка.

Решение. В самом деле, .

Пример 3. Доказать, что при функции и — эквивалентные бесконечно малые ( при

Решение. Действительно, .

Пример 4. Определить при порядок бесконечной малой функции ­­- относительно бесконечно малой .

Решение. Требуется найти число такое, чтобы был конечным и не равным нулю. Имеем .

При , что не подходит, при , что также не годится. Только при и искомый предел равен -4, т.е. конечен и отличен от нуля. Итак, и функция – бесконечно малая второго порядка относительно бесконечно малой при .

Глава 5

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

§ 1. Понятие производной

Определение. Производной функции y = f(x) в точке xₒ называется предел при Δx 0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел суще­ствует).

Производная обозначается y′ (xₒ) или f′ (xₒ).

Итак, по определению,

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Пример. Используя определение производной, найти производную функции в точке .

Решение. Придавая аргументу x в точке приращение , найдем соответствующее приращение функции:

Составим отношение:

Найдем предел этого отношения при 0:

Следовательно, производная функции в точке равна числу , что в принятых обозначениях можно записать так:

Используя определение производной, найти производные функций в точке

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

§2. Вычисление производных

I. Правила дифференцирования:

1)

2) ;

3) ;

4) если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке .

II. Формулы дифференцирования:

1) (C)' = 0; 2) = ;

3) , в частности, ;

4) , в частности, ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) = ; 12) .

Пример. Используя правила и формулы дифференцирования, найти производные функций:

1)

2)

3) ;

4) .

Решение.

1)

2) ;

3) ;

4)

Найти производные функций:

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ;

18.

19. ; 20. ;

21. ; 22.

23. 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

31. ; 32. ;

33. ; 34. .