§ 2. Предел и непрерывность функции

1. Определение предела функции. Пусть функция определена на некотором промежутке и пусть точка или .

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке , если для любого числа существует число такое, что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

^*Здесь X может быть любым промежутком вида и т.д.

Пример 1. Используя определение, доказать, что функция в точке имеет предел, равный С, т.е.

Решение. Возьмём любое Тогда для любого числа выполняется требуемое неравенство следовательно,

Пример 2. Используя определение, доказать, что функция в точке имеет предел, равный , т.е.

Решение. Возьмём любое Тогда если взять , то для всех , удовлетворяющих неравенству ; следовательно, .

Пример 3. Используя определение, доказать, что функция в точке имеет предел, равный единице, т.е.

Решение. Возьмём любое Задача состоит в том, чтобы по этому найти такое , при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуя последнее неравенство, получаем , или . Отсюда видно, что если взять то для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется требуемое неравенство . Это и означает, что . В частности, если , то , если , то и т.д.

1. Свойства пределов.

Теорема 1. Пусть функции имеют в точке пределы B и C.Тогда функции имеют в точке пределы, равные соответственно , т.е.

Замечание. Теорема 1 верна также и в случае, когда является одним из символов .

Пример 4. Найти

Решение. На основании теоремы 1 (предел суммы и произведения) имеет =3*1*1+1+5=9, так как (см. примеры 1 и 2).

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и её значение в этой точке равны, т.е. .

Пример 5. Используя определение, доказать непрерывность функции в точке

Решение. Сначала найдём предел данной функции при

Затем вычислим значение функции в точке равны, т.е. ; следовательно, функция непрерывна в точке .

Теорема 2. Пусть функция непрерывны в точке . Тогда функция также непрерывны в этой точке (частное при .

Пример 6. Найти

.

Решение. Так как в точке функции непрерывны, то, по теореме 2, функция непрерывна в точке , т.е. предел функции и её значение в этой точке равны, тогда, переходя к пределу, получаем

3. Раскрытие неопределенностей вида и .

Пример 7. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Непосредственно теорему 1 (предел частичного) применить нельзя. Необходимо, как говорят, раскрыть эту неопределенность. Для этого разложим числитель на множители и сократим на общий множитель , который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби. Получаем

Так как знаменатель теперь равен нулю, то неопределенность раскрыта. Применяя теорему 1, окончательно находим

Пример 8. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида . Разделим на x числитель и знаменатель дроби, а затем применив теорему 1, получим

Найти пределы:

234.	.	235.	.
236.	.	237.	.
238.	.	239.	.
240.	.	241.	.
242.	.	243.	.
244.	.	245.	.
246.	.	247.	.
248.	.	249.	.
250.	.	251.	.
252.	.	253.	.
254	.	255.	.
256.	.	257.	.
258.	.	259.	.
260.	.	261.	.
262.	.	263.	.