Дополнительный материал3

Выведенный логически закон планирования можно получить математически. Рассмотрим упрощенный пример, в котором две тепловые электростанции вырабатывают электроэнергию для снабжения одного потребителя.

Загрузка станций Р₁ и Р₂ . Нагрузка потребителя Р_Н .

Известны расходные характеристики станций С₁(Р₁) и С₂(Р₂). Они непрерывны и нелинейны.

Потери в электрической сети не учитываются.

Требуется найти оптимальную загрузку электростанций, обеспечивающую наименьшие суммарные затраты на производство электроэнергии по энергосистеме.

Запишем оптимизационную задачу

min [C₁(P₁)+C₂(P₂)]

при ограничении Р₁+Р₂-Р_Н=0.

Неизвестные Р₁ и Р_{2 .}

Записанная задача относится к задачам нелинейного математического программирования. Ее решение может быть найдено с использованием метода множителей Лагранжа. В рамках этого метода минимизируется функция Лагранжа

L=C₁(P₁)+C₂(P₂)+ (Р₁+Р₂-Р_Н),

в которой - множитель Лагранжа.

Для поиска неизвестных решается система уравнений

Производные и показывают, как меняются издержки при малом изменении выпуска продукции (электроэнергии). Это маржинальные цены производителей (электростанций).

Из системы уравнений следует, что = = - минимальные суммарные издержки на выработку электроэнергии достигаются при равенстве маржинальных цен электростанций. Конец дополнительного материала.

11. Маржинальная выручка (доход)

Напомним, что выручка (доход) , где р –цена, V – объем реализованного блага.

По аналогии с предельной (маржинальной) ценой:

Маржинальная выручка – это величина дополнительной выручки при малом изменении объема реализации блага

Для определения маржинальной выручки достаточно знать характеристику спроса на рассматриваемое благо.

Обычно маржинальная выручка определяется при заданном объеме V. Для ее определения надо рассчитать выручку R в этой точке, затем отклонить объем реализации на малую величину и снова определить выручку в отклоненной точке. Изменение выручки – маржинальная величина .

Если при расчетах удобно отклонять объем реализации не на малую величину, а на интервал , то величина маржинальной выручки окажется приближенной. В этом случае определяется как . Обычно такую величину фиксируют в середине рассмотренного интервала .

Часто необходимо строить характеристику (функцию) маржинальной выручки. Для этого величину маржинальной выручки определяют для каждой точки функции спроса.

Характеристика маржинальной выручки зависит от эластичности спроса. Чем меньше эластичность спроса, тем более круто проходит характеристика маржинальной выручки, и тем сильнее характеристика маржинальной выручки отклоняется от характеристики спроса.

Если характеристика спроса задана аналитически как р(V),то и характеристику маржинальной выручки можно получить аналитически. Для этого сначала надо получить характеристику валовой выручки (дохода) R(V)=p(V) V. Затем продифференцировать ее по V.

Пример: Спрос задан функцией р=20-0,1V. Характеристика валовой выручки R(V)=20V-0,1V². Характеристика маржинальной выручки R_м=20-0,2V.