Глава 11. Разложение в ряд фурье и анализ сигналов в mathcad

Как известно из курсов высшей математики и ТОЭ, любую пе- риодическую функцию можно разложить на гармонические составляю- щие – это составляет задачу гармонического или спектрального анализа. Обратная задача – задача гармонического синтеза состоит в генерации сигналов заданной формы методом суперпозиции гармонических сигна- лов разной амплитуды, фазы и частоты. MathCAD позволяет решать за- дачи гармонических анализа и синтеза с использованием встроенных процедур (рис. 2.74), либо непосредственно с помощью классических математических выражений.

Рис. 2.74

Гармонический анализ сигналов находит применение в электро- технике, энергетике, электромеханике, электроприводе, системах управления.

Обозначим исследуемый сигнал – периодическую функцию, ко-

торую необходимо проанализировать, как f(t). Заменим функцию f(t) на конечную сумму S_n(t) по следующей формуле

_a

_Sn _{(t ) = 0 + a}

_{cosωt + a}

_{cos 2ωt + … + a}

_{cos nωt +}

₂ ^{1 2 n}

₍ 2.29₎

_{+b sin ωt + b}

_{sin 2ωt + … + b}

_{sin nωt,}

где

1 2 n

_{a – постоянная составляющая,}

⁰

_{a ,..., a – коэффициенты синусных составляющих,}

^{1 n}

_{b ,..., b – коэффициенты косинусных составляющих,}

^{1 n}

ω –частота основной гармоники,

n – количество членов разложения или количество гармоник.

Средняя квадратичная ошибка, возникающая из-за конечного ко-

_{личества гармоник, определим как}

_T

_{δ 2 =}

_{⎡ f (t ) − S}

_{(t )⎤2 dt.}

^∫ ⎣ ⁿ ⎦

0

₍ 2.30₎

_где

_{T – период повторяемости функции f(t).}

Коэффициент при косинусных составляющих разложения опреде-

_{лим как}

₂ ^T

^a_k ⁼ _T ^∫

f ₍t ₎ cos kωtdt.

₍ 2.31₎

0

Коэффициент при синусных составляющих разложения опреде-

_{лим как}

₂ ^T

^b_k ⁼ _T ^∫

f ₍t ₎sin kωtdt.

₍ 2.32₎

0

§1. Гармонический анализ напряжения на выходе трёхфазного мостового выпрямителя

Пусть имеется трёхфазный мостовой выпрямитель, известный как схема Ларионова, с активной нагрузкой, подключенной к выходу (рис.

_2.75).

_{VD1 − VD6}

^U _A (^t )

_{( )}

_{Uвыпр (t ) Rн}

^U _B ^t

^U_C (^t )

Рис. 2.75

Необходимо проанализировать гармонический состав выходного напряжения выпрямителя с применением MathCAD.

Зададим в MathCAD частоту и систему фазных напряжений стан-

_{дартной промышленной трёхфазной сети (рис. 2.76).}

Рис. 2.76

Модули фазных напряжений представлены на рис. 2.77.

Рис. 2.77

_{Напряжение на выходе неуправляемого трёхфазного}

_{мостового}

выпрямителя зададим функцией (рис. 2.78). Как видно из рис. 2.78, вы- ходное напряжение выпрямителя имеет значительную постоянную со- ставляющую и незначительные по амплитуде пульсации.

Рис. 2.78

Зададим последовательность i, как порядковый номер гармоники

_{(рис. 2.79). Рассчитаем коэффициенты гармоник (рис. 2.80).}

Рис. 2.79

Как видно из рис. 2.81

_{равны нулю.}

Рис. 2.80

в разложении синусные составляющие

Рис. 2.81

Представим исходную функцию гармоническим рядом с ограни- ченным числом гармоник (рис. 2.82) и оценим погрешность такого представления. Как видно, погрешность очень мала.

_{Рис. 2.82}

_{Рис. 2.83}

_{Исходная функция выходного напряжения выпрямителя и}

_соот-

ветствующий конечный гармонический ряд практически совпадают во всех точках, кроме минимумов (рис. 2.84).

Рис. 2.84

_{По графическому распределению коэффициентов гармоник вид-}

но, что ненулевыми являются шестая, двенадцатая,

двадцать четвёртая гармоники (рис. 2.85).

восемнадцатая и

Рис. 2.85