4. 7.2.4 Параллельность плоскостей

1. Параллельные плоскости

2. Признак параллельности двух плоскостей

3. Свойства параллельных плоскостей

4. Вопросы и задания

1.Параллельные плоскости

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются или не пересекаются.

Определение:

Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельные плоскости α и β обозначаются α||β

Пример:

Любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях - пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

 

2. Признак параллельности двух плоскостей

Теорема:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β - данные плоскости, a₁ и a₂ – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b₁ и b₂ соответственно параллельные им прямые в плоскости β.

 

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a₁ параллельна прямой b₁, значит она параллельна и самой  плоскости β.

Прямая a₂ параллельна прямой b₂,  значит, она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

 

Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a₁ или a₂ пересекает  прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β,  значит, пересекая прямую c, прямая a₁ или a₂ пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a₁ и a₂ параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны.

3. Свойства параллельных плоскостей

Т еорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

 

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны. 

 

4. Вопросы и задания

Уровень А:

Используя данный куб

1. определи взаимное расположение плоскостей ABC и A₁B₁C₁

1. Скрещивающиеся.

2. Параллельны. 

2. назови плоскость параллельную AA₁B₁

1. DD₁C₁

2. ABC

3. BB₁C₁

4. A₁B₁C₁

5. A₁D₁D

Уровень В:

Дан угол AOD и две параллельные плоскости α и β.

Плоскость α пересекает стороны угла OA и OD соответственно в точках A и D, плоскость β эти стороны пересекает соответственно в точках B и C. Найти AD и OD.

Дано:

OB= 9

AB= 5

BC= 6

CD= 2

 Ответ: AD= 9⅓; OD= 11

 Уровень С:

Даны параллельные плоскости α и β. Точки A и B находятся в плоскости β, а точки C и D в плоскости α. Длина отрезка AC=11, длина отрезка BD=13.

Сумма проекций этих отрезков в плоскости α равна 12.

 

Высчитай длину проекций обоих отрезков.

1. Чтобы определить проекции отрезков AC и BD, из точек A и B надо провести _________ AE и BF к плоскости α.

 

2. AE и BF __________.

 

3. AE и BF _____________ как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями.

 

4. Длины проекций CE и FD высчитаем из треугольников ACE и BDF:

Длина CE=

 

Длина FD=