3. Применение производных к вычислению пределов. Правило Лопиталя.
Пусть функции
и
дифференцируемы в окрестности точки
и
.
Если
или
,
т.е. частные
в точке
представляет собой неопределенность
вида
или
,
то если существует предел отношения
производных функций
,
то существует
предел отношения самих функций и они между собой равны, т.е.
(3.8)
Если частное
в точке
также есть неопределенность
или
и производные
и
удовлетворяют соответствующим условиям,
то можно перейти к отношению вторых
производных и т.д. Если имеются
неопределенности
или
,
то их следует с помощью эквивалентных
преобразований привести к неопределенности
или
и затем применить правило Лопиталя. В
случае неопределенности вида
,
или
следует прологарифмировать функцию,
определяющую этот предел и найти предел
ее логарифма.
Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя.
Пример 9.
.
Пример 10.
.
Пример 11.
Пример
12.
.
Обозначим вычисленный предел за и прологарифмируем данное равенство.
Символы
и
поменяем местами на основе свойств
непрерывности функции.
Путем эквивалентных
преобразований пришли к равенству
т.е.
.
Решая простейшее логарифмическое
уравнение получим
- это вычисляемый предел.
Контрольная работа № 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Векторная алгебра.
1-10 Даны
векторы
=
{a1;
a2;
a3};
=
{b1;
b2;
b3};
={c1;
c2;
c3};
={d1;
d2;
d3}
в некотором базисе. Показать, что векторы
,
,
образуют базис, и найти координаты
вектора
в этом базисе.
1. ={1;2;3}; ={-1;3;2}; ={7;-3;5}; ={6;10;17}.
2. ={4;7;8}; ={9;1;3}; ={2;-4;1}; ={1;-13;-13}.
3. ={8;2;3}; ={4;6;10}; ={3;-2;1}; ={7;4;11}.
4. ={10;3;1}; ={1;4;2}; ={3;9;2}; ={19;30;7}.
5. ={2;4;1}; ={1;3;6}; ={5;3;1}; ={24;20;6}.
6. ={1;7;3}; ={3;4;2}; ={4;8;5}; ={7;32;14}.
7. ={1;-2;3}; ={4;7;2}; ={6;4;2}; ={14;18;6}.
8. ={1;4;3}; ={6;8;5}; ={3;1;4}; ={21;18;33}.
9. ={2;7;3}; ={3;1;8}; ={2;-7;4}; ={16;14;27}.
10. ={7;2;1}; ={4;3;5}; ={3;4;-2}; ={2;-5;-13 }.
11-20 Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры и аналитической геометрии найти:
1) длину ребра А1А2 ;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) площадь грани А1А2А3;
4) объем пирамиды;
5) уравнение прямой А1А2;
6) уравнение плоскости А1А2А3;
7) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
11. А1(4;2;5), А2(0;7;2), A3(0;2;7), A4(1;5;0).
12. A1(4; 4; 10), A2(4;10;2), A3(2;8;4), A4(9;6;4).
13. A1(4;6;5), A2(6;9;4), A3(2;10;10;), A4(7;5;9).
14. A1(3;5;4), A2(8;7;4), A3(5;10;4), A4(4;7;8).
15. A1(10;6;6), A2(-2;8;2), A3(6;8;9), A4(7;10;3).
16. A1(1;8;2), A2(5;2;6), A3(5;7;4), A4(4;10;9).
17. A1(6;6;5), A2(4;9;5), A3(4;6;11), A4(6;9;3).
18. A1(7;2;2), A2(5;7;7), A3(5;3;1), A4(2;3;7).
19. A1(8;6;4),A2(10;5;5), A3(5;6;8), A4(8;10;7).
20. A1(7;7;3), A2(6;5;8), A3(3;5;8), A4(8;4;1).
21-30 Найти точку М1, симметричную точке М относительно плоскости.
21. М (-1; 0; -1), 2x + 6y – 2z + 11 = 0.
22. М (0; 2; 1), 2x + 4y – 3 = 0.
23. М (2; 1; 0), y + z + 2 = 0.
24. М (-1; 2; 0), 4x – 5y – z – 7 = 0.
25. М (2; -1; 1), x – y + 2z – 2 = 0.
26. М (1; 1; 1), x + 4y + 3z + 5 = 0.
27. М (1; 2; 3), 2x + 10y + 10z – 1 = 0.
28. М (1; 0; -1), 2y + 4z – 1 = 0.
29. М (3; -3; -1), 2x – 4y – 4z – 13 = 0.
30. М (-2; -3; 0), x + 5y + 4 = 0.
31-40 Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.