6. Цепи периодического не синусоидального тока.

6.1 Несинусоидальные эдс, напряжениями и токи их представления в виде ряда Фурье.

В предыдущих главах рассматривались электрические цепи с неизменными параметрами r,L,C,Mпри воздействии источников постоянного или синусоидального токов и напряжений.

На практике кривые ЭДС и токов в большей или меньшей степени могут отличаться от постоянных или синусоидальных. Несинусоидальными оказываются направления и токи цепи, к которым подключены источники синусоидальных ЭДС имеющих разные частоты.

В цепях, содержащих комплексны сопротивления, индуктивности или ёмкости. Даже при синусоидальных ЭДС возникают несинусоидальные токи и напряжения, например токи и напряжения в цепи с диодом.

Во многих электрических и радиотехнических устройствах несинусоидальным решением является рабочим режимом. Примером могут служить генератор,периодических последовательностей импульсов резистной формы: прямоугольный, треугольный, пилообразный и т.д.

На рис 6.1 представлена периодическая несинусоидальная трапеция времени

Рис 6.1

f(t)=f(t+T), гдеT- период функции.

В пределах интервала Т функция f(t) может быть непрерывной или иметь конечное число разрывов первого рода, т.е. таких для которых существуют пределыf(t) при приближении к точке разрыва слева и справаf(t₁-0),f(t₁+0). В пределах периода число экстремумом функцииf(t) должно быть конечно. Эти условия, накладываемые на функцию, называется условие Дирихле. Следует заметить, что для всех токов и напряжений, действующих в реальных электрических цепях, эти условия выполняются.

Известно, это периодическая несинусоидальная функция, удовлетворяющая условиям Дирихле может быть представлена в виде бесконечного гармонического ряда – ряда Фурье. Сумма ряда совпадает со значением функции для всех точек её непрерывности, а в точках разрыва даёт среднее арифметическое левого и правого предельные значенийf(t).

Пусть задана периодическая не синусоидальная ЭДС f(t), удовлетворяющая условиям Дирихле. Тогда её можно прибавить в виде ряда.

f(t)=Е₀ + Е_{1 m} sin(ωt+ϕ₁+ Е_{2 m} sin(ωt+ϕ₂)+…+ Е_{k m} sin(ωt+ϕ_k)+…=E₀+Е_{k m} in(ωt+ϕ_k)

где Е₀ – нулевая гармония ЭДС или постоянная составляющая

Е_км –амплитуда к-ой гармоники.

К – номер гармоники

Этот ряд можно представить в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных состоящих с нулевой фазой. Для этого

гармонику ЭДС

е_к=Е_кмsin(ωt+ϕ_k)

преобразуем к виду

е_к=Е_кмcosϕ_ksinωt+ Е_кмsinϕ_kcosωt, где Е_км=

Тогда периодическую не синусоидальную ЭДС можно занять в следущего ряда:

е(t)=Е₀ + А_1msinω+B_1mcosω+ А_2msin2 ω+B_2mcos2 ω+ …+А_kmsinkω+B_kmcoskω+ …=E₀+

где К- коэффициенты ряда определяются выражениями:

Для наиболее часто встречающихся функций коэффициенты приводятся в справочниках по математике и в задачниках по электротехнике.

6.2. Симметрия периодических несинусоидальных функций времени.

Разложение периодических не синусоидальных в нахождении коэффициентов ряда Е₀, А_КМ, В_Км.

Однако прежде чем определить коэффициенты ряда необходимо проанализировать вид несинусоидальной кривой. В некоторых случаях симметрии в разложении могут отсутствовать отдельные гармоники, что упрощает получение разложения.

Рассмотрим несколько видов симметрии.

1 Функция симметрична относительно оси ординат (рис. 6.2), т.е. четна

Рис. 6.2

Для таких функций справедливо е(t)=е(-t). Т.к. синусоиды являются нечетными функциями, то они в разложении будут отсутствовать. Ряд будет состоять из нулевой гармоники и косинусоидальных составляющих.

2. Функция симметрична относительно начала координат (рис. 6.3), т.е. нечетна.

Рис 6.3.

Для таких функций справедливо е(t)=-е(-t).Т.к. постоянная составляющая и косинусоиды этому условию не удовлетворяют, то ряд примет вид:

3. Функция симметрична относительно оси абсцисс со сдвигом на пол периода (рис. 6.4).

Рис. 6.4.

Для такой функции справедливо е(t)=е(-t+).

Рассмотрим ряд Фурье для этого вида симметрии:

E₀+=

- E₀-, откуда выделим четные к.

E₀+

Это условие выполняется только при Е₀=0, А_КМ=В_КМ=0 для четных к.

Поэтому при данном виде симметрии в ряд Фурье будут присутствовать только нечетные гармоники.

е(t)=

Вид симметрии зависит от начала отсчета. Если начало отсчета можно выбирать произвольно, то необходимо это сделать так, чтобы получить наибольшую симметрию.