Жаттыгулар а

35. у = х функциясыныц графигш колданып, у = g х, у = -2х,

у= х + 2, у = Зх - 1 функцияларыньщ графиктерш 6ip координа-талык жазьщтыкка салыцдар.

36. у = ^ + 1, у = -— +1,5, у = 4т ~ 2 функцияларыньщ гра­фиктерш У ⁼~ функциясыныц графигш колданып, 6ip координа-талык жазьщтыкка салындар.

37. Функцияныц графита кандай кисык болады:

к 2

а) у = sin g - 2JC²; в) у = 2cos 0 + — ;

6)y = 4sin|-|x³; B)y = -| + ctg|?

38. у = -2Х², у = х² + |, у = -х² + 5, у = Зх² функцияларыньщ графиктерш 6ip координаталык жазьщтыкка салыцдар.

В

39. у = 2(3 + х)² - 5 функциясыныц графигш у = х² функция­сыныц графигшен кандай турленд1рулер журпзу аркылы алуга болады? Графигш салындар.

40. у = х³ функциясыныц графигш колданып, y = f(x) функция -

■ и 11.1 ц графигш салындар:

%) f(x) = х³ + 4; в) f(x) = -х³ - 3;

и) f(x) = -2Х³ + 1; в)/(х) = 2(х-I)³ - 5.

11. Bip координаталар жуйесше мына функциялардыц график-< • I >i 11 салыцдар:

п)у = 2х*- 3, у= |(х- 1)²+ 1, г/ = 4(х²+ 1);

в)у = 2у[х - ^, y=Jx+^, у = Зу[х-1.

113. Бер1лген функциялардыц графиктершщ ортак нуктелер1 Пн 1.1'гынын графиктщ кемешмен керсетщдер:

а) у = х² - 2х жене у = -1; е) у = х² - 5х + 4 жене у =-—.

43. Графиктщ кемеймен тецдеудщ неше Ty6ipi болатынын ......истацдар: а) х² = —; е) х² - 1 =Jx ?

§ 3. Функцияныц касиеттер1

Функция, функцияныц аныкталу облысы мен мэндер жиыны, функцияныц графигЬ, бершу тес1лдер1, функцияныц графигш ка-1>апайым турленоЧру.

Осы такырыпты оку барысында сендер нет уйренейндер?

Пул такырыпты игеру барысында симметриялы жиьш, жуп, так, 11<1>иодты, шектелген функциялар угымдарымен жене олардыц /нп/шктерШц касиеттер1мен танысып, функциялардыц всу, кему, пищбатурактылык аралыктарын жэне экстремумын аныктауды уи\ч-иес1ндер.

Жуп жене так функцияларга аньщтама беру ушш алдымен

■ и иметриялы жиьш угымын енпзейж.

Аныктама. Егер X жиынында оныц кез келген х элемент1мен Щатар (-х) элемента де бар болса, онда бул жиын симметриялы жиьш дсп аталады.

Мысалы, (-5; 5), [-b;+b], (-°°; +оо) — симметриялы жиындар.

Кндд жуп жене так функциялардыц аныктамасына токталайык.

Аныктама. Егер у = f (х) функциясыныц аныкталу облысы и иметриялы жиьш болып, х аргументШц кез келген мет ушш /( г) = /(х) тендш орындалса, онда функция жуп, ал f(-x) = -f(x) щсцдш орындалса, функция так деп аталады.

1>удан кейб1р функциялардыц жуптылык немесе тактылык г и neTi шыгады. Егер аныктамадагы шарттар орындалмаса, онда функция жуп та, так та болмайды. Ондай функцияларды жалпы щ/pdeti функция деп айтады.

l-мысал. a) f(x) = 5х²; э) f (х) = х³ - х; б) Дх) = 2х? + функцияларыньщ жуп немесе так екенш аньщтайык.

IUeuiyi. Жуп жене так функциялардыц аныктамаларьш колданып| бершген функциялардын турш аныктаймыз.

Бершген функциялардын аныкталу облыстары — симметриял^ жиындар.

а) f(-x) = 5(-х)² = Ъх² = f(x) — функция жуп; в) /4-х) = (-х)³ - (-х) = -х³ + х = - (х³ - х) = -/(х) — функция так|

б) f(-x) = 2(-х)² + = 2Х² - ^ функция жуп та, так та емес.

Жуп жене так функциялардыц графиктершщ езше твн ерек-шелштер1 бар, ягни жуп функцияныц графигЬ ордината ocine царам ганда симметриялы, ал так функцияныц графиг1 координаталар баЩ нуктесЬне Караганда симметриялы кисык.

2-мысал. 17-суретте бершген графиктер бойынша функциялардыц! жуп немесе так екенш аньщтайык.

IUeuiyi. Жуп жене так функциялардыц графиктершщ касиетш колданып, мынадай корытындыга келем1з:

а) график Оу осше Караганда симметриялы, демек, функция — жуп; в) график координаталар бас нуктесше Караганда симметриялы

ягни, функция — так;

б) графикте симметриялык жок, сондыктан функция так та, жуп та болмайды.

Енда периодты функциянын аныктамасына токталайык.

Аныктама. Егер y = f(x) функциясы yuiiu Тф 0 саны табылып жэне аныкталу облысынан алынган кез келген х уиин f(x +Т) = f(x) тецдш орындалса, онда ол периодты функция деп аталады.

Т ф 0 санын функцияныц периоды деп атайды.

Мысалдар карастырайьщ.

В мысал. у = sin х, у = cos х функциялары ушш свйкесшше III (х Ь 2п) = sin х, cos (х + 2п) = cos х, ал у = tg х, у = ctg х функция-Цфы ушш свйкесшше tg (х + я) = tg х, ctg(x+7t) = ctgx тецдштершщ гмндалатыны 9-сыныптан белгШ. Демек, у = sin х, у = cos х функ-1И и шры ушш Т = 2л, ал у = tg х, у = ctg х функциялары ушш ' /и болады.

Периодты функция ушш мына касиет орындалады: ч f(x) функциясыньщ периоды Тф 0 санына тец болса, онда п ■ Т 1 ш)агы п—кез келген бутш сан) саны да бершген функция yuiin /■not) болады.

| онда бершген касиет бойынша тригонометриялык функциялар щи! твмендеп тендактер орындалады:

sin (х + 2тш) = sin х, пе Z;

cos (х + 2пп) = cos х, пе Z; ц)

tg (х + кп) = tg х, п е Z;

ctg (х + пп) = ctg х, п е Z.

I\i цц sin (х + 2пп) = sin х, п е Z тецдпшщ орьшдалатьшьш двлелдейтк. % >лелдеу1 9-сыныптан белгш1 sin (а + (3) = sin а • cos Р + cos а • sin (3 Фирмуласын пайдаланамыз. Сонда sin (х + 2пп) = sin х • cos2rc +

сон х • sin2n, ал cos2rc = 1, sui2k = 0 екенш ескерсек, sin(x + 2пп) = - ш\п х • 1 + cos х • 0 = sinx. Демек, sin(x + 2пп) = sin х.

Jf^ (1) формуланыц баска тецд1ктер1н1ц дэлелдеу1н вз беттер1чмен орындацдар.

Кц Kimi он период функциянын периоды деп кабылданады. 1лы, у = sinx, у = сох функцияларыньщ ец Kimi оц периоды 2к, \п у = tgx, у = ctgx функцияларышю л-ге тен болады. Енда периодты функциянын графигш карастырайык. 11сриоды Т санына тец периодты функциянын графигш салу ушш и.шдыгы Т-га тец кесшд1ге графики салып, оны OxocimH бойымен • | i-i жене солга п ■ Т кашыктыкка параллель Kemipy керек 11К сурет).

Егер у = f(x) функциясы периодты жене оныц периоды Т саныщ пгец болса, онда у = kf(ax + b) (мундагы k, а* 0 жене Ъ — турактг

т

сандар) функциясы да периодты жене оныц периоды г-, санына тец.

И

4-мысал. у = cos (Зх - 1) функциясыныц периодын табайьщ. Illeuiyi. BepijireH функцияныц периодын жогарыда вероятен касие бойынша аньщтаймыз. у = cos х функциясыныц периоды 2к, ал есепти

бершгеш бойынша а = 3. Онда т-г = — = - п болады. Демек, бершге] функцияныц периоды -л санына тец.

3

Енда шектелген функция угымын карастырайык.

Аныктама. Аныкталу облысыныц кез келген нуктесшде f (х, функциясы мендерШц абсолют шамасы белгий 6ip b>0 санынан Kiui емес болса, ягни |/(х)| < Ь, хеХ, онда ол осы жиында шектелгег функция деп аталады.

Егер тецйздж орындалмаса, онда функция шектеуаз деп аталады,

Ъ-мысал. f(x) = 1 + sin2x функциясыныц шектелген функция екенш керсетешк.

Illeuiyi. у = sin х функциясы мендершщ абсолют шамалары кег келген х е R ушш 1-ден аспайды, ягни |sin х| < 1.

Осыдан | sin 2х| < 1 немесе -1 < sin 2х< 1. Соцгы кос тецйздш-тщ барлык белтне 1 санын коссак, 0 < 1 + sin 2х < 2 кос тецс13-дагш аламыз. Сонымен бершген функцияныц мендершщ жиыны Е (f) = [0; 2]. Бул шектелген функция.

Функцияныц тацбатурактыльщ аралыгына токталайык.

Аныктама. Аныкталу облысыныц кайсыбгр аралыктарында функция тек оц мендердЬ (оныц графигг Ох осшщ жогаргы жагында орналаскан), ал баска аралыктарында тек mepic мендердь (график Ох осшщ твменгъ жагында орналаскан) кабылдаса, онда мундай аралыктарды функция тацбасыныц турактылык аралыктары деп атайды.

х² + 2

6-мысал. а) у = х + 1; в) у = —-— функциясы тацбасыныц турактылык аралыктарын аныктайык.

Шешуъ. а) у = х + 1 функциясы накты сандар жиынында еспел1 —1 нуктесшде 0-ге тец. Олай болса, бул функцияныц (—°°; -1) аралыгында Tepic тацбалы, ал (-1; +°°) аралыгында оц тацбалы бола-тыны айкын. Булар функцияныц тацбатурактыльщ аралыктары.

е) Белшектщ алымы х-тщ кез келген мешнде оц болгандьщтан, оныц танбасы бел1мшдеп ернекке теуелд1. Ендеше, (—°°; 0) жене (0; +<*>) тацбатурактыльщ аралыктары.

Кндд еспел1, кем1мел1, кем1мейтш, еспейтш функцияларды х е X • ш.шында карастырайык.

Аныктама. Егер y=f(x) функциясыныц аныкталу облысындагы кез

/.га х, < х₂ сандары yuiin f(x₁)<f(x₂) тенсгздш орындалса, онда фикция вспет, ал f(x₁)>f(x₂) тецс1здш орындалса, онда функция '■i ымелЬ деп аталады.

Аныктама. Егер y = f(x) функциясыныц аныцталу облысындагы

■ келген х₁ < х₂ сандары ушш f (Xj) < / (х₂) тенсъздш орындалса, \ш>п функция кемгмейтт, ал f (х_х) > f (х₂) тенс1зд1г1 орындалса, онда •« nriimiH функция деп аталады.

0спел1, кем1мел1, кем1мейтш жене еспейтш функцияларды 1Ч1'г,1/>ынды (монотонды) функциялар деп атайды.

'1>ункцияны кайсыб1р нуктенщ мацайында зерттегенде нуктенщ in тггы угымы пайдаланылады.

Аныктама. а нуктеашц аймагы деп осы нуктеш камтитын кез

• (.77/ аралыкты айтады.

1«(-суреттеш х₁ (х₂) нуктесшде функцияныц графип. есуден кемуге и ■ ч уден есуге) алмасады. Мундай нуктеш максимум (х_тах) (минимум 1,1 )) нуктей деп атайды.

Аныктама. Егер х₀ нуктесшщ кандай да 6ip аймагынан алынган |/' "-"С х yuiinf(x) > f(x₀) тецс1здш орындалса, онда х₀ нуктеа f(x) фушсциясынъщ минимум нуктеси, ал f(x) < /(х₀) тенсъздш орындал-../ максимум нуктеа. деп аталады.

М инимум жене максимум нуктелерш экстремум нуктелерц ал осы ,| телердеп мендерд1 сейкесшше функцияныц минимумы жене "п.симумы немесе функцияныц экстрему Mdepi деп атайды.

Математикада касиеттер1 6ip-6ipiHe уксас, теориялык жене I I I рибелпс мазмундары терец функциялар жш кездеседь У,\\)\\кер1 функция угымына токталайык.

Егер y = f(x) функциясы X аныкталу облысындабгрсарынды вспелЬ I т чесе кем1мелГ) функция болса, онда осы функцияныц Y мендер > 41'шында аныкталган бЬрсарынды вспел1(б1рсарынды кеМмелг) функ-чич оныц Kepi функциясы болады.

Озара Kepi функциялардыц график-mpi // = х тузуше Караганда симмет-I'mi л 1,1 болып келед1.

7-мысал. у = Зх + 5 функциясына Httpi функцияны аныктайык.

/ / lcuiyi. Бершген сызьщтьщ функция I 11 н кез келген мешнде аныкталган

• тс еспел1 функция. Демек, беригген

Оны аныктау ушш х айнымалыс! у айнымалысы аркылы ернектей

Сонда Зх = у - 5 немесе х = \ у

О

Соцгы тещцктеи х пен у айнымал] J% ларыныц орындарын алмастырса

у — -г х — — функциясын аламыз. Ы функция у = Зх+ 5 функциясына ке| функция. Ендеше, у = Зх + 5 ту

20-сурет

Kepi фун

функция, ал у = х х - -

ция. Бул функциялар б1рсарынд еспел1, олардыц графиктер1 20-суре) те бершген.

1. Егер жуп функциянын аныкталу облысы [а; 6] кесшдоа болса, онда а же Ъ сандары туралы не айтуга болады?

2. Тек кана он мендер кабылдайтын так функция бола ма? Жауабын Tyci д1рщдер.

3. Функциянын периодтылыгы дегетинз не?

4. Функциянын танбатурактылык аралыктарын калай аныктайды?

5. Егер у = f (х) функциясы накты сандар жиынында еспел1 болса, он у = -f(x) функциясы вспел1 ме, елде кем1мел1 ме?

6. Кез келген функцияга Kepi функция табуга бола ма? Жауабын Tyci д1рщдер.

Жаттыгулар А

44. Функцияныц жуп екенш двлелдецдер: а) /(х) = -Зх⁴ + 2,5х²;

1

e)/(x) = cos^ -4х²;

в) f(x) = -2,5x3 - 5.

б) f(x) = 5sin²x + |;

45. Функцияныц так екенш двлелдецдер:

а) /(х) = 2Х⁵ - 4Х³; в) fix) = sinx - 2Х³;

б) /(х) = 4 х³ • ctgx²; в) /(х) = 2х |х| - Зх.

46. Т саны у = Дх) функциясыньщ периоды болатынын делеД дендер:

a) fix) = 2sinxx, Г = 6я;

в) /(x) = cos(5x-|],T= Щ

б) fix) = з ctg I -| + 1,г- Зп; в) /(x) = tg5x+2,5,T= |.

17. 21, а, в, б-суреттерде х > 0 (х < 0) шартын канагаттандыратын 11 ■ 11.1 к х ушш у = fix) функциясыньщ графип бершген. а) / (х) — так имя; в) fix) — жуп функция; б) fix) — так та емес, жуп та емес II и ii.ni, fix) функциясынын графигш толыктырып салыцдар.

ш у = fix) жене у = gix) жуп функциялар екеш белгип болса, м in м I >i на функцияныц жуп немесе так функция екенш аныктацдар:

f(_x)

I '/ gix) + Дх); в)у= ; б) у = -2Дх) • gix); в) у = fix) - gix).

I*». Першген функцияныц Kepi функциясын аныктацдар:

2х

\) у 7х + 2; э) у ⁼ ~д—; б) у = 5 - х.

Ю. у = Дх) функциясынын жуп немесе так екенш двлелдецдер:

ми/ ₃-х⁴ + 4]х|; *²-1б

"> Л*)= 0,5 sin 2* ^;

в) Дх) = | х | - 2Х²; *(*² - з)

;> I. /'(х) жене jf(x) функцияларыньщ аныкталу облыстары барлык 1й1 1ы сандар жиыны.

11 ф(х) = /²(х) • g³ix), егер Дх) — так, gix) — жуп; • | ф(х) = ЗДх) + 2^(х), егер Дх) жене gix) — жуп; 0) ф(х) = 4/(х) - gix), егер fix) жене gix) — так; fix)

"' ''''^ ⁼ ~g(x)' ^егеР — ^так' £^ — ^ж¥^п функциялар болса, онда \х) функциясы кандай функция болатынын аныктацдар. 12. Бершген функциялардын ец rami оц периодын табындар:

I) /(х) = cos^— - -J; ..»/U) = ctg(j + 5х];

в) Дх) = cos²3x - sin²3x;

X х

в) Дх) = 6sin cos g •

53. Бершген функцияныц Kepi функциясын аньщтап, граф салыцдар:

а) у = 2х + 3; в) у = - 6х + 9.

54. а) у = 2Х² + 5 функциясыньщ (-оо; 0] аралыгында кемитш в) у = Зх² - 1 функциясыньщ [0; +°°) аралыгында всетшш;

®)у= jX? + 3 функциясыньщ R жиынында всетшш двлелдецде

55. Твменде бершгендерд1 колданып f(x) функциясыньщ граф-салыцдар:

а) функция

-; +°° | аралыгында кеми

аралыгында есед1,

в) (-ею; 1] жене [3; +°°) аральщтарында вседа; [1; 3] — кемида; б) (-ос; -4] жене [1; +оо) аральщтарында кемида; [-4; 1] — всед]| ^в> *_ж = -1. = 2, Л-1) = 2, Д2) = -3.

г) f(x) - жуп функция, х_тах = 0, x_min = 1, /(0) = 4, /(1) = 0; г) f(x) — так функция, x_min = 5, /(0) = 0, /(5) = -3.

56. Турлецщру аркылы у = fix) функциясыньщ графигш салыцда График бойынша функцияныц есу жене кему аральщтарын, экстр мум нуктелерш, тацбатурактылык аральщтарын табындар:

1

а) у = 2х - х²;

а)у =

х+ 2

3.