3.6. Связь дискретных и непрерывных процентных ставок.

Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить, приравнивая соответствующие множители наращения

(1 + i)ⁿ = е^δn (27)

Из записанного равенства следует, что

δ = ln (1 + i) (28)

откуда

i=e^δ - 1. (29)

Задача 13. Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста?

Решение. Воспользуемся формулой (28)

δ = ln (1 + i) = ln (1 + 0,15) = 0,13976, т.е. эквивалентная сила роста равна 13,976%.

3.7. Расчет срока ссуды и процентных ставок. В ряде практических задач начальная (Р) и конечная (S) суммы заданы контрактом и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.

Срок ссуды. А) При наращении по сложной годовой ставке i. Из исходной формулы наращения S= P(1+i)ⁿ следует, что

n = log(S/P) / log(l+j/m) (30)

где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется в числителе и знаменателе.

Б) При наращении по номинальной ставке процентов т раз в году из формулы S=P(1+j/m)^mn получаем

n = log(S/P) /m log(1+j/m) (31)

В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d из формулы P=S(1-d)ⁿ имеем

n = log(P/S) / log(1–d) (32)

Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке т раз в году. Используя равенство P = S(1-f/m)^mn, приходим к соотношению

n = log(P/S) / m log(1–f/m) (33)

Д) При наращении по постоянной силе роста. Исходя из соотношения

S= Ре ^δn, получаем

Ln(S/P) = δn. (34)

Расчет процентных ставок. Используя те же исходные формулы, что и для приведенных расчетов, получим выражения для процентных ставок.

А) При наращении по сложной годовой ставке i. Из исходной формулы наращения следует, что

(35)

Б) При наращении по номинальной ставке процентов т раз в году из формулы получаем

(36)

В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d. Из формулы имеем

(37)

Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке т раз в году. Из соотношения приходим к формуле

(38)

Д) При наращении по постоянной силе роста. Исходя из S= Ре^δn, получаем

δ = (1/n) х ln(S/P) (39)

Эквивалентность антисипативных и декурсивных простых и сложных ставок. Ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий, называют эквивалентными. Равноценность финансовых последствий может быть обеспечена в том случае, если наблюдается равенство множителей наращения или дисконтных множителей. Это принцип используется при расчете всех эквивалентных ставок.

Рассматривая принцип эквивалентности процентных ставок, необходимо обратить внимание на расчет их средних значений, так как для нескольких процентных ставок их среднее значение является эквивалентной величиной.

В случае, если суммы полученных кредитов равны между собой, то средняя процентная ставка (проценты простые) рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной, где весами служат временные периоды, в течение которых действовала данная ставка:

, (40)

где - средняя процент ная ставка, - период действия (временной интервал) каждой ставки.

При получении различных по величине кредитов, выданных под различные процентные ставки, средняя ставка также вычисляется по формуле средней арифметической, но весами в этом случае будут являться произведения сумм полученных кредитов на сроки, на которые они выданы:

, (41)

где - средняя процентная ставка, - период действия каждой ставки, - величина выданного кредита.

Расчет простой учетной ставки производится также по средней арифметической взвешенной:

(42)

Средняя ставка по сложным процентам определяется по формуле:

(43)

Средний размер одной ссуды с учетом количества оборотов за год находится по формуле:

, (44)

где - размер j-й ссуды, - срок j-й ссуды в годах, – количество оборотов, - продолжительность периода, - число клиентов, получивших ссуду.

Задания

1. Предприниматель положил в банк, начисляющий 6% годовых (сложных), 8000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента а) через 1 год, б) через 8 месяцев, в) через 4 года, г) через 6 лет 6 месяцев?

2. Владелец участка земли сдал его в бессрочную аренду с ежегодной рентой 110 тыс.руб. Ставка процента – 10%. Найдите дисконтированный доход.

3. Владелец квартиры сдает ее на три года и требует по 11 тыс.руб. в конце каждого. Ставка процента – 10%. Доходы хранятся на срочном вкладе. Определите дисконтированный доход и сумму, которая будет у владельца через 3 года. Выгодно ли принять предложение жильцов заплатить сразу 27 тыс.руб.

4. В коммерческом банке ставка по срочным вкладам равна 10% в месяц. Сумма 100 руб. помещена на трехмесячный срочный вклад. Найдите доход вкладчика, если капитализация процентов а) предусмотрена, б) не предусмотрена.

5. На сколько процентов увеличится сумма срочного вклада за 8 лет при ставке процента 20% годовых, если предусмотрена капитализация процентов?

6. Сумма, помещенная на срочный вклад с ежегодной капитализацией процентов, за 4 года увеличилась на 75%. Найдите годовую ставку процента, если она оставалась неизменной.

7. Предприниматель положил в банк, начисляющий проценты по ставке j₃=6%, 8000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента а) через 1 год, б) через 8 месяцев, в) через 4 года, г) через 6 лет 6 месяцев?

8. Владелец мастерской может вложить деньги в банк, выплачивающий проценты по ставке j₆=10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить 20 тыс.руб. через 3 года 3 месяца?

9. Фермер хочет вложить 30 тыс.руб., чтобы через 5 лет получить 40 тыс.руб. Под какую процентную ставку j₁₂ он должен вложить свои деньги?

10. Через сколько лет 1 руб., вложенный в банк, выплачивающий проценты по ставке j₁=10%, превратится в 1 млн.руб.?

11. Клиент вложил в банк 1000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента через 1 год, если банк начисляет проценты по ставке а) j₁=5%, б) j₆=5%, в) j₁₂=5%, г) j₃₆₀=5%?

12. Клиент вложил в банк 1000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента через 8 лет, если банк непрерывно начисляет проценты по годовой ставке, равной 5%?

13. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий непрерывные проценты по ставке 7%, чтобы через 10 лет на счету было 5000 руб.?

14. Банк начислял на вложенные в него деньги проценты непрерывно по ставке в 1990г. - 12%, в 1991г. - 18%, в 1992 и 1993 гг. - 24%. Какая сумма будет на счету 31 декабря 1993 года, если 1 января 1990 года на этот счет было положено 3000 руб.?

15. Г-н Петров имеет вексель на 15 тыс.руб., который он хочет учесть 1 марта текущего года в банке по сложной учетной ставке, равной 7%. Какую сумму он получит, если срок векселя а) 1 июля того же года, б) 1 июля следующего года?

16. В банк, начисляющий 6% годовых (сложных), клиент положил 80 тыс.руб. Какая сумма будет на счету этого клиента а) через 1 год, б) через 8 месяцев, в) через 4 года, г) через 6 лет 6 месяцев?

17. Решить задание 16, если банк начисляет проценты по ставке j₃=6%.

18. Г-н Иванов может вложить деньги в банк, выплачивающий проценты по ставке j₆=10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить 20 тыс.руб. через 3 года 3 месяца?

19. Г-н Петров хочет вложить 30 тыс.руб., чтобы через 5 лет получить 40 тыс.руб. Под какую процентную ставку j₁₂ он должен вложить свои деньги?

20. Клиент вложил в банк 100 тыс.руб. Какая сумма будет на счету этого клиента через 1 год, если банк начисляет проценты по ставке a) j₁ = 5%, б) j₆ = 5%, в) j₁₂ = 5%, г) j₃₆₀ = 5%?

21. Какая сумма будет на счету клиента из предыдущего задания при условии (г) через 8 лет?

22. Какова современная ценность 10 тыс. руб., если а) эта сумма будет получена через 3 года 6 месяцев, б) эта сумма была получена 2 года 9 месяцев тому назад, в) эта сумма получена в настоящий момент времени? Стоимость денег - 8% (то есть на деньги, находящиеся в обороте, начисляются 8% годовых (сложных)).

23. Банк начисляет на вложенные деньги проценты по ставке j₄=6%. Какова современная ценность суммы денег в 25 тыс. руб., которая а) была вложена в этот банк 5 лет 4 месяца тому назад; б) будет вложена в банк через 1 год 8 месяцев?

24. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий непрерывные проценты по ставке j∞ = 7%, чтобы через 10 лет на счету было 50 тыс. руб.?

25. Банк начислял на вложенные в него деньги проценты непрерывно по ставке в 1990г. — 12%, в 1991г. — 18%, в 1992 и 1993 гг. — 24%. Какая сумма будет на счету 31 декабря 1993 года, если 1 января 1990 года на этот счёт было положено 30000 руб.?

26. Г-н Петров имеет вексель на 15 тыс. руб., который он хочет учесть 1 марта текущего года в банке по сложной учётной ставке, равной 7%. Какую сумму он получит, если срок векселя а) 1 июля того же года, б) 1 июля следующего года?

27. Банк выдаёт ссуду на 10 лет или под 7% годовых (сложных), или под простые проценты. Какую ставку простых процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился?

28. Какую ставку сложных процентов должен установить банк из предыдущего задания, если он выдаёт ссуду под 7% простых годовых?

29. Фермер должен вернуть банку 2 тыс. руб. 1 января 1994 года. Ссуда дана под 15% годовых (сложных). Какую сумму должен уплатить фермер, если он вернет долг а) 1 июля 1993 года, б) 1 июля 1995 года, в) 1 января 1996 года?

30. Определить ставку сложных процентов i_c, эквивалентную ставке a) j₂ = 10%, б) j₆ = 10%, в) j_l2 = 10%.

31. Банк выплачивает на вложенные в него деньги 8% годовых (сложных). Какую ставку j_m должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились, если а) т=2, б) т=6, в) m=12?

32. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄ = 6% и собирается перейти к непрерывному начислению процентов. Какую силу роста должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились?

33. Банк учитывает вексель за 60 дней до срока его оплаты по простой учётной ставке d_п = 6%. Какую сложную учётную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился?

34. Банк учитывает вексель по учётной ставке f₃ = 8% и желает перейти к сложной учётной ставке d_c. Какой величины должна быть ставка dc, чтобы доход банка не изменился?

35. Банк учитывает векселя по сложной учётной ставке d_c = 6%. По какой учётной ставке f_m этот банк должен учитывать векселя, чтобы доход банка не изменился, если а) т = 2, б) m = 4, в) т = 12?

36. Банк выплачивает по вкладам 6% годовых (сложных). Какова реальная доходность вкладов в этот банк, если начисление процентов делается а) по полугодиям, б) поквартально, в) ежемесячно?

37. Банк учитывает векселя по сложной учётной ставке 8%. Какова реальная доходность этой операции?

38. Банк учитывает векселя по сложной учётной ставке f₄=8%. Какова реальная доходность этой операции?

39. Какова современная ценность 10 тыс.руб., если а) эта сумма будет получена через 3 года 6 месяцев, б) эта сумма была получена 2 года 9 месяцев тому назад, в) эта сумма получена в настоящий момент времени? Стоимость денег — 8% (то есть на деньги, находящиеся в обороте, начисляются 8% годовых (сложных)).

40. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄=6%. Какова современная ценность суммы денег в 25 000 руб., которая а) была вложена в этот банк 5 лет 4 месяца тому назад, б) будет вложена в банк через 1 год 8 месяцев?

41. Г-н Сидоров положил в банк, выплачивающий проценты по годовой ставке i=5% (сложных), сумму 12 тыс.руб. Через 1 год 6 месяцев он снял со счёта 4,5 тыс.руб., а ещё через 2 года положил на свой счёт 2 тыс. руб. После этого, через 3 года 6 месяцев он закрыл счёт. Какую сумму он получил?

42. Решить предыдущее задание при условии, что банк выплачивает проценты по ставке j₆=5%.