4.5. Задачи для самостоятельного решения
Найти частные производные первого и второго порядка функций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Тема 5. Неопределенный интеграл
5.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение.
Функция F(x)
называется первообразной для функции
f(x),
если
или dF(x)=f(x)dx.
Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных F(x)+C, где C – const, т.к. (F(x)+C)´= f(x)
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех ее первообразных.
Обозначение:
-
знак интеграла;
f(x) – подынтегральная функция;
F(x)dx – подынтегральное выражение;
x – переменная интегрирования.
Нахождение неопределенного интеграла называется интегрированием функции.
5.2. Свойства неопределенного интеграла
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
где
a
– const.
5. Интеграл от алгебраической суммы 2-х функций равен такой же сумме интегралов от этих функций
6.
Если
и
то
Таблица первообразных
1.
2.
3.
где
4.
,
(
>0,
≠1)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
5.3. Методы интегрирования
ПРИМЕР
1.
используя
свойство 3,формулу 3 и 1 из таблицы
производных получим
.
5.3.1.Метод замены переменной
ПРИМЕР
2. ∫
Положим
=1-2х,
тогда х =
,
=
(
)=(
)´
=-
и
∫
=
∫
=-
∫
=-
+С=-
│1-2х │+С.
5.3.2. Метод интегрирования по частям
Интегрированием
по частям называется нахождение
интеграла по формуле
где
- непрерывно дифференцируемые функции
от x.
С помощью этой формулы нахождение
сводится к отысканию другого интеграла
Ее применение целесообразно в тех
случаях, когда последний интеграл либо
проще исходного, либо ему подобен.
При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv берется та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
ПРИМЕР 3.
5.3.3. Интегрирование тригонометрических функций
Используется универсальная подстановка
ПРИМЕР
4. Вычислить
интеграл
Возвращаясь к старой переменной, получим :
5.3.4. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби (метод неопределенных коэффициентов)
Рациональной
дробью, как известно, называют дробь
,
числитель и знаменатель которой
многочлены. Рациональные дроби бывают
правильные и неправильные. Правильные,
если степень многочлена в числителе
меньше степени многочлена в знаменателе;
неправильные, если степень многочлена
в числителе больше степени многочлена
в знаменателе. Перед интегрированием
рациональной дроби
необходимо сделать следующие
алгебраические преобразования и
вычисления :
1. Если дана неправильная дробь, то выделить из нее целую часть ;
2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители;
3. Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби;
4. Вычислить неопределенные коэффициенты.
ПРИМЕР 5.
Так как каждый знаменатель из двучленов x-1, x-2, x-4 входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:
Освобождаясь от знаменателя, получим:
Сгруппируем
члены с одинаковыми степенями:
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений:
A=3
B=-7
C=5
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие рациональные дроби имеет вид:
Таким
образом,
Эти интегралы решаем методом замены
переменных, получаем:
