1.5. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы

1. (отв. )

3. (отв. -3)

5. (отв. 2)

7. (отв.

9. (отв. )

11. (отв. 1)

13. (отв. )

2. (отв. )

4. (отв. )

6. (отв. 2)

8. (отв. 3)

10. (отв. 0)

12. (отв. )

14. (отв. )

Тема 2. Производная

2.1. Определение производной функции одной переменной

Пусть функция f(x) определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. При каждом значении аргумента x из этого промежутка функция f(x) имеет определенное значение. Пусть аргумент получил некоторое (положительное или отрицательное) приращение тогда функция y=f(x) получит некоторое приращение . Таким образом, при значении аргумента x будем иметь y=f(x), при значении аргумента будем иметь отсюда получим Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при то говорят, что функция y=f(x) дифференцируема в точке x, а этот предел называют значением производной в функции y=f(x) в точке x и обозначают

Определение. Производной данной функции y=f(x) по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при стремлении последнего к нулю.

или

Наряду с обозначением и для производной употребляются и другие обозначения и

Конкретное значение производной при x=a обозначается

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке x, т.е. к = = tg .

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

2.2. Основные правила дифференцирования

Пусть С - постоянная, U=u(x),V=v(x) – функции, имеющие производные. Тогда:

1. Производная постоянной равна нулю, т.е.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.

3. Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме производных этих функций, т.е.

4. Производная произведения находится в виде: .

5. Производная частного находится по формуле : .

6. Производная сложной функции : если y=f(x), u=u(x), т.е. y=f(u(x)), то

Формулы дифференцирования основных функций

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

2.3. Нахождение производных

ПРИМЕР 1. y=5x

(т.к. )

ПРИМЕР 2.

ПРИМЕР 3.

ПРИМЕР 4.

ПРИМЕР 5.

ПРИМЕР 6.

ПРИМЕР 7.

ПРИМЕР 8.

ПРИМЕР 9.

ПРИМЕР 10.