1.4. Определение доверительных интервалов случайной погрешности

Если гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения доказана либо принята, стандартное отклонение среднего арифметического вычисляют по формуле

(1.4.1)

Для расчётов обычно принимают доверительную вероятность

Р=0,95. Дополнительно проводят расчёт при Р=0,99 или, иными словами, 99%, при повышенных требованиях к точности.

При n > 40...50 порядок действий следующий.

Если результаты наблюдений Х_i распределены нормально, то нормально распределены и величины X_i/n, а значит, и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство:

(1.4.2)

Таким образом, интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных измерений ,в раз короче интервала, вычисленного по результату одного измерения, хотя доверительная вероятность у них одинакова.

Потом определяют коэффициент при Ф( )= (1+Р)/2 по таблице «Интегральная функция нормированного нормального распределения» (таблица 2 приложения) или по таблице «Значения функции Лапласа» при P/2.

Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде:

; Р=…% (1.4.3)

При n<40…50 пользуются распределением Стьюдента.

В ероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале

(1.4.4)

Величины , рассчитанные с помощью этой формулы для различных значений доверительной вероятности и числа степеней свободы k=n-1, табулированы (см.таблицу 5 приложения).

Рекомендуемая литература (теоретические вопросы):

1. Г.Д.Крылова «Основы стандартизации, сертификации и метрологии».

2. И.М.Лифиц «Стандартизация, метрология и сертификация».

3. Я.М.Радкевич, А.Г.Схиртладзе «Метрология, стандартизация и сертификация»

Нормативные документы

Рекомендации по обработке данных и расчету параметров описательной статистики.

Среднее арифметическое значение результата измерений ,являются оценкой истинного значения Q :

,

Где - отдельные результаты измерений; n – число измерений.

Смещённая оценка дисперсии:

Несмещённая оценка дисперсии :

_{Среднее квадратическое отклонение или стандартное отклонение ,}

_{Среднее арифметическое отклонение:}

_.

_{Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического :}

_{Примечание. После расчёта стандартного отклонения можно выявить грубые промахи по 3 сигма критерию (максимальное по абсолютной величине отклонение нормируют к стандартному отклонению, если эта величина превышает 3, то это значение считают грубым промахом, прибор бракуют, а результат исключают из обработки).}

_{Допускается обработка данных с помощью электронных таблиц.}

Задача: Обработка результатов многократных измерений при среднем числе опытов

_{Вариант назначается преподавателем.}

_{Исходные данные: Результаты многократного измерения диаметра металлического стержня (мм).}

_{Требуется : а) выявить результаты, содержащие грубую погрешность и избавиться от них;}

_{б) оценить нормальность распределения результата наблюдения;}

_{в) выполнить интервальную оценку.}

_{Доверительную вероятность в пунктах а) и в) принимать равной Р= 0,95.}

_{Пример решения.}

_{а) Поскольку , для выявления результатов , содержащие грубую погрешность, используем метод вычисления максимального относительного отклонения (критерий ).}

_{Среднее арифметическое составляет:}

Внимание! При расчёте необходимо на промежуточных этапах при округлении сохранять на один разряд больше, чем было в исходных числах.

_{Среднее квадратичное отклонение определяется по формуле:}

_.

_.

_{Таблица № 1. Расчёт и (При n= 15).}

№
1	2,99	0,003	0,000009
2	2,98	-0,007	0,000049
3	2,98	-0,007	0,000049
4	2,99	0,003	0,000009
5	2,98	-0,007	0,000049
6	2,98	-0,007	0,000049
7	2,98	-0,007	0,000049
8	3,05	0,063	0,003969
9	2,98	0,003	0,000049
10	2,99	0,003	0,000009
11	2,99	0,003	0,000009
12	2,99	-0,007	0,000049
13	2,98	-0,007	0,000049
14	2,97	-0,017	0,000289
15	2,98	-0,007	0,000049
Сумма	44,81		0,004695
Среднее	2,987

_{Расчётные значения параметра для оценки возможного присутствия грубой погрешности вычисляются по формулам :}

_или

_{Критическое значение определяется по таблице 6 приложения: при числе наблюдений n= 15 для уровня значимости находим .}

_{Т.к. 3,443>2,493 (т.е. > ), содержит грубую погрешность; этот результат ( м) отбрасывается.}

_{Т.к. 0,929 <2,493 (т.е. < ), мм не содержит грубую погрешность.}

_{Проводим повторный расчёт по оставшимся значениям}

_{Таблица №2. Расчёт и (при n= 14).}

№
1	2,99	0,007	0,000049
2	2,98	-0,003	0,000009
3	2,98	-0,003	0,000009
4	2,99	0,007	0,000049
5	2,98	-0,003	0,000009
6	2,98	-0,003	0,000009
7	2,98	-0,003	0,000009
8	2,98	-0,003	0,000009
9	2,99	0,007	0,000049
10	2,99	0,007	0,000049
11	2,99	0,007	0,000049
12	2,98	-0,003	0,000009
13	2,97	-0,013	0,000169
14	2,98	-0,003	0,000009
Сумма	41,76	0,072	0,000486
среднее	2,983	(сумма модулей)

_{Критическое значение определяется по таблице 6 приложения: при числе наблюдений n= 14 для находим .}

_{Т.к. 1,148< 2.461 (т.е. < ), = 2,99мм не содержит грубую погрешность;}

_{Т.к. 2,131 < 2,461 (т.е. < ) , = 2,97 мм так же не содержит грубую погрешность.}

_{б) Т.к. 10…15< n <40…50, то для оценки нормальности применяем составной критерий.}

_{Статистика d вычисляется по формуле}

_,

_{Задаемся уровнем значимости .По таблице 7 приложения при числе измерений n= 14 ; .}

_{Условие < ; 0,6767<0.8729 0,9226 выполняется, поэтому в соответствии с первым критерием гипотеза о нормальности распределения принимается.}

_{Для проверки по второму критерию в табл.8 приложения при n= 14 и = 0,02 находим m=1. В таблице 2 приложения находим значение .}

_{Поскольку m= 1,то значение мм может превзойти только одно из отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического. В расчетной таблице №2 отклонений мм нет ни одного. Таким образом, и второй критерий говорит о том , что экспериментальные данные при уровне значимости не противоречат гипотезе о нормальности распределения результата наблюдения.}

_{в)Т.к. гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения подтверждена и n<40…50, проведем интервальную оценку с помощью коэффициентов Стьюдента.}

_{Половина длины доверительного интервала:}

_.

_{Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического:}

_.

_.

_{По справочной таблице вида “Распределение Стьюдента” ( табл. 5 приложения) при заданной доверительной вероятности P= 0,95 и числе степеней свободы k=n-1=14-1=13 определяем соответствующий коэффициент Стьюдента :}

_Тогда

_мм

_{Ответ: 2,983 0,004мм; Р= 95%.}

Внимание! При записи окончательного ответа погрешность округляется до того количества значащих цифр, которое требуется по правилам округления. Затем округляется до того же разряда, до которого была округлена погрешность.