3. Краткие сведения из теории и решение типовых задач

3.1 Операционное исчисление

Операционное (символическое) исчисление применяется в самых различных областях науки и техники. Особенно большую роль оно играет при исследовании переходных процессов в линейных физических системах электротехники, автоматики, механики.

Правила операционного исчисления созданы английским инженером-электриком Хевисайдом (1850-1925 г.). Они позволяют достаточно несложными и эффективными приемами находить решения дифференциальных уравнений.

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции – оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) – действительная функция действительного переменного t (под t понимается время или координата).

Определение. Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. f (t) = 0 при t < 0;

2. f (t) – кусочно-непрерывная при t 0;

3. существуют такие числа M > 0 и S₀ 0 , что для всех t выполняется неравенство , т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции.

Число S₀ называется показателем роста f(t).

Условия (1-3) выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы. Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого времени; удобнее считать, что в момент t=0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них S₀=0) , степенные (n > 0) и другие. Для функций вида , условие 3 не выполняется; не является оригиналом и функция f(t)= - для нее не выполняется 2-е условие.

Определение. Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного р= , определяемая интегралом

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде f(t)÷F(p).

Принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения – соответствующими большими.

Пример 1. Простейшим оригиналом является единичная функция (функция Хевисайда), определяемая следующим образом .

Найдем изображение этой функции.

_, в символической записи .

Замечание: В дальнейшем функцию – оригинал будем коротко записывать в виде f(t) , учитывая, что при .

Пример 2. Найти изображение функции , а – любое число.

_{Получили .}

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа облегчают задачу нахождения изображений, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям. Пусть f(t)÷F(p).

Свойства изображений и оригиналов.

1. Линейность: .

2. Подобие: .

3. Смещение: .

4. Запаздывание: , >0.

5. Дифференцирование оригинала:

………………………………………………

.

6. Дифференцирование изображения:

_{…………………………}

.

7. Интегрирование оригинала: .

8. Интегрирование изображения: .

9. Умножение изображений (теорема о свертке функций):

.

Приведем краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями.

Таблица оригиналов и изображений Таблица 2

№	Оригинал f(t)	Изображение	№	Оригинал f(t)	Изображение
1	1		11
2			12
3	t		13
4	(n-целое)		14
5			15
6			16
7			17
8			18
9			19
10			20

Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В.А. Диткин и П.И. Кузнецов).

Пример. Используя таблицу изображений и свойства, найти изображения оригиналов:

1)

_{Найдем изображение каждого слагаемого, используя в таблице формулы 1, 4 и 15}

Используя свойство линейности, получаем:

2) (формула 20).

3) (формула 5).

4)

Используем формулу . Далее, используем свойство линейности и формулу 5, получаем:

.

5) (формулы 1 и 6).

6) . Используем свойство 6 (дифференцирование изображения):

если f(t)÷F(p), то

Получили .

7) . Изображение гиперболического косинуса известно , применяя свойство смещения , получаем .

8) . Используем теорему об интегрировании оригинала (свойство 7):

9) (свойство 7). 

Пример. Найти оригиналы по изображениям.

На практике рекомендуется поступать следующим образом:

- по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения F(p) соответствующий ему оригинал.

- функцию представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности и таблицей найти оригинал.

1)

По таблице (формула 4) . Умножим и разделим исходное изображение на 2: . Искомый оригинал .

2)

Выделим полный квадрат в знаменателе и применим формулу 9:

.

Получили оригинал .

3)

Для нахождения оригинала используем формулу 13 и свойство линейности:

_.

Искомый оригинал .

4) . Выделим в знаменателе полный квадрат и применим формулы 9 и 10, свойство линейности:

5)

Представим дробь в виде суммы простейших дробей:

_.

_{Приравниваем числители дробей и находим коэффициенты А и В:}

Далее используем свойство линейности и формулы 1, 2:

Искомый оригинал .