3. Указания к решению задач по механике

Кинематические задачи в случае прямолинейного равнопеременного движения материальной точки решаются, как правило, векторным или координатным способами с помощью двух уравнений для скорости и радиуса-вектора точки в момент времени  : 

			(1)
			(2)

где   - постоянное по величине и направлению ускорение,   - начальная скорость,   - скорость в момент времени  ,   - радиус-вектор точки в начальный момент времени при  ,   - радиус-вектор в момент времени  .

Выражения (1) и (2) получаются при решении дифференциальных уравнений для мгновенного ускорения и мгновенной скорости: 

с учетом начальных условий и при постоянном  .

Принцип независимости движений позволяет применять выражения (1) и (2) для   и   и в случае так называемого баллистического движения, то есть для криволинейного движения тел, брошенных горизонтально и под углом к горизонту.

При решении задач нужно перейти к скалярной форме уравнений (1) и (2), то есть записать каждое из них в проекциях на ось при прямолинейном движении и отдельно в проекциях на оси   и   при криволинейном. При этом следует учесть знаки проекций, а символы векторов опустить. Следует иметь в виду, что проекции радиуса-вектора   на оси равны соответствующим координатам материальной точки:  ,  ,  ,  . Из системы скалярных уравнений выражаются искомые величины.

Важным этапом решения задач является выбор системы отсчета. При выборе инерциальной системы отсчета необходимо:

1. указать тело отсчета, неподвижное относительно Земли, или поверхность Земли;

2. связать с ним координатные оси и произвольно выбрать их положительное направление;

3. указать положение рассматриваемого тела (тел) в начальный момент времени.

Примечание. В ряде задач на прямолинейное равнопеременное движение в одном направлении применяется "естественный" метод решения, основанный на использовании скалярных величин: траектории движения, пути, модулей средней скорости и среднего ускорения. В этом случае из известных соотношений: 

			(3)
			(4)
			(5)

где   - путь, пройденный за время  ,   - средняя скорость,   и   - начальная и конечная скорости точки,   - среднее ускорение, подставляя в (3)   и   из (4) и (5), можно получить полезное соотношение: 

(6)

которое в частном случае равнопеременного движения без начальной скорости упрощается: 

(7)

В случае равнозамедленного движения с нулевой конечной скоростью оно принимает вид: 

(8)

Подобное соотношение можно получить и из закона сохранения механической энергии материальной точки: если действуют только консервативные силы, например, сила тяжести, потенциальная энергия тела переходит в кинетическую и наоборот: 

где   - высота,   - скорость,   - ускорение свободного падения,   - масса.

Указания к решению задач по динамике

Задачи по динамике материальной точки решаются в основном с помощью законов Ньютона.

Рекомендуется следующий порядок действий:

1. проанализировав условие задачи, установить, какие силы действуют на материальную точку (тело) массой  ; силы должны соответствовать телам, взаимодействующим с рассматриваемым; например, со стороны Земли действует сила тяжести, со стороны нити - сила натяжения нити, со стороны опоры - сила реакции опоры и т.д.; желательно указать природу каждой силы;

2. показать на рисунке все силы в виде векторов, то есть направленных отрезков, приложенных в одной точке - в центре масс (центре тяжести) тела массой  ; длины отрезков должны качественно соответствовать условию задачи и   закону Ньютона: векторная сумма (равнодействующая) сил, действующих на покоящееся или движущееся равномерно прямолинейно тело, равна нулю; при ускоренном движении эта сумма совпадает по направлению с вектором ускорения;

3. выбрать систему отсчета; при этом в случае прямолинейного движения достаточно указать одну ось, при баллистическом - оси удобно выбрать в сторону ускорения и перпендикулярно к нему, при движении точки с постоянной по модулю скоростью по окружности ось направляют по нормали к траектории, то есть по радиусу к центру окружности - так же, как нормальное ускорение, называемое иногда центростремительным;

4. записать   закон Ньютона в векторной форме:  ;

5. перейти к скалярной форме уравнения, то есть записать все его члены в том же порядке в проекциях на каждую из осей, без знаков векторов;

6. составить систему уравнений, дополнив в случае необходимости кинематическими, и провести далее все этапы решения, указанные в общих рекомендациях на стр. [перейти];

7. если в движении участвует несколько тел, анализ сил и запись уравнений производится для каждого из них в отдельности.

Задачи динамики точки решаются также с помощью законов сохранения. Законы сохранения механической энергии и импульса используются и в задачах на поступательное движение системы материальных точек.

Начало формы Конец формы

Начало формы Конец формы

Начало формы Конец формы