4. Повторный интеграл.

Повторным называется двойной интеграл вида (1.4а) или (1.4б).

При вычислении первого из указанных повторных интегралов сначала берётся внутренний интеграл по переменной , при этом играет роль параметра. Затем полученную функцию интегрируют по переменной x.

, где - первообразная функции по , т.е. .

Аналогично, , где .

Пример1.2. Вычислить повторный интеграл : .

Решение. Вычислим сначала внутренний интеграл, при этом множитель , играющий роль параметра (не зависящего от переменной интегрирования), вынесем за знак этого интеграла.

5. Переход от двойного интеграла к повторному. Расстановка пределов интегрирования.

Д

Рисунок 1.4

ля вычисления значения двойного интеграла (1.1) необходимо перейти к повторному интегралу вида (1.4а) или (1.4б) . Способ перехода зависит от вида области D.

Область, ограниченная слева и справа прямыми

и ,

а сверху и снизу - кривыми и , такими, что любая прямая , проведённая через область D, пересекает каждую из кривых и в одной точке, называется

y-правильной. При этом точку А называют точкой входа в область, а точку В – точкой выхода из области.

(см.рис 1.4) То есть область является y-правильной, если

О пределив пределы изменения переменных по области D, расставляем пределы интегрирования в повторном интеграле:

. (1.4а)

А

Рисунок 1.5

налогично вводится понятие x-правильной области (см. рис. 1.5).

В этом случае имеем и

(1.4б)

Пример 1.3. Расставить двумя способами пределы интегирования в двойном интеграле , где D – треугольник с вершинами O(0,0), A(0,1),В(1,1).

Решение. Построим область D. Она одновременно является как

y-правильной, так и x-правильной. Поэтому первый способ расстановки пределов при переходе к повторному интегралу выглядит следующим образом:

для всех точек данной области переменная изменяется между и , а переменная для любого из этих меняется от до , т.е..

Рис. 1.6

. Определив пределы изменения переменных по области D, расставляем пределы интегрирования в повторном интеграле:

. (См.(1.4а))

Изменим порядок интегрирования, то есть расставим пределы интегрирования в повторном интеграле вторым способом (См.(1.4б)).

Из рис. 1.6 следует, что для всех точек данной области переменная изменяется между и , а переменная для любого из этих меняется от до . Т.е. Теперь расставляем пределы интегрирования:

.

Пример 1.4. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Решение. Из данного интеграла следует, что область интегрирования ограничена прямыми , и кривыми , . Построим область D (См. рис. 1.7). Она является y-правильной, но не является x-правильной (См. рис .1.4). Для получения x-правильных областей придётся разбить область D на три части. Определим пределы, в которых меняются переменные по каждой из трёх областей для повторных интегралов вида (1.4б).

Рис. 1.7

_,

По свойству аддитивности имеем

. Переходя к повторным интегралам вида (1.4б), расставляем пределы интегрирования в каждом из трёх слагаемых и получаем ответ:

.

Пример 1.5. Вычислим , где область ограничена линий и .

Решение.

Линии, задающие область , пересекаются в точках с абсциссами

и

Рис. 1.8

. Построим область и выясним, является ли она правильной (См. рис.1.8). Сравнив данную область с областями, представленными на рис. 1.3 и рис. 1.4, видим, что наша область является y-правильной, но не является x –правильной.

Перейдём от двойного интеграла к повторному вида (1.4а) и вычислим его.

Учтём, что по области D переменные меняются в следующих пределах:

и .

Расставим пределы интегрирования и вычислим интеграл.

Проверка решения в среде MathCad.

Для того чтобы вычислить двойной интеграл с помощью компьютерной математической программы MathCad, необходимо сначала представить двойной интеграл в виде повторного. Для записи задания откроем панели инструментов «Калькулятор», «Математический анализ» и «Вычисления». На панели «Математический анализ» находим значок определённого интеграла и нажимаем на него два раза. Двойной интеграл строится по принципу вложения. Над тем интегралом, что окажется левее («внешним»), ставим числовые пределы интегрирования – в нашем примере это значения переменной и . Над следующим интегралом («внутренним») ставим функциональные пределы, ограничивающие область по переменной y. В нашем примере это и . Далее записываем подынтегральную функцию x²+y² и dydx. То есть первой указывается та переменная, по которой сначала ведётся интегрирование (y) . Если после записи интеграла поставить знак «равно» с панели «Калькулятор» или «Вычисления», программа выдаст приблизительное числовое значение вычисляемого интеграла в виде десятичной дроби. Если же на панели «Вычисления» выбрать и поставить после интеграла значок « », компьютер выведет результат вычисления в аналитической записи, в виде простой дроби или выражения, содержащего корни, числа e, и проч.

На рисунке 11 представлен «принтскрин» с экрана при решении данного примера.

Рис. 11

Домашнее задание к занятию 1: ОЛ-6 №№2115, 2117, 2122, 2124,2144, 2146 или ОЛ-5 №№ 8.4, 7, 10, 14, 21, 32, 34.

Занятие 2

Криволинейные координаты на плоскости. Замена переменных в двойном интеграле. Геометрический смысл модуля и знака Якобиана. Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.

Ауд.: ОЛ-6 №№ 2160, 2162, 2164, 2166, 2171, 2177, 2183 или ОЛ-5 №№ 8.43, 44, 46, 48, 50, 56, 62.