1.4. Ортогональные системы векторов

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.

Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Процессом ортогонализации системы векторов a₁, a₂, … , a_m+1 называется построение системы векторов b₁, b₂, … , b_m+1 по следующим формулам:

b₁ = a₁,

b₂ = a₂ – b₁,

b₃ = a₃ – b₁ – b ₂,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b_m+1 = a_m+1 – b₁ – b ₂ – ... – b _m .

Справедливы следующие утверждения:

1. Система векторов b₁, b₂, … , b_m+1 является ортогональной.

2. Если векторы a₁, a₂, … , a_m+1 линейно независимы, то b₁, b₂, … , b_m+1 – ортогональная система ненулевых векторов.

Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и

векторы системы имеют длину, равную единице.

Пример.

Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов:

а₁= {2, 0, 1, 1}, а₂= {1, 2, 0, 1}, а₃= {0, 1, -2, 0}.

Р е ш е н и е. Полагаем b₁ = a₁. Затем строим векторы b₂ и b₃.

b₂ = a₂ – b₁ = {1, 2, 0, 1} – · {2, 0, 1, 1} = {1, 2, 0, 1} – · {2, 0, 1, 1} =

= {0, 2, – , };

b₃ = a₃ – b₁ – b₂ = {0, 1, -2, 0} – · {2, 0, 1, 1} –

– · {0, 2, – , } = {0, 1, -2, 0} – (– ) · {2, 0, 1, 1} – · {0, 2, – , } =

= {0, 1, -2, 0} + { , 0, , } – {0, , – , } = { , – , – , 0}.

Т.о., векторы b₁ = {2, 0, 1, 1}, b₂ = {0, 2, – , }, b₃ = { , – , – , 0} являются результатом ортогонализации исходной системы векторов.

Задания. 1. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов:

1. {0, 1, 1}, {1, 1, 1}, {-3, 3, 1}.

2. {1, -1, 1}, {2, 1, 2}, {3, 1, 1}.

3. {1, -2, 1}, {0, 1, -4}, {2, -3, -2}, {7, 4, 1}.

4. {-1, 1, 1, 1}, {0, 2, 1, 1}, {1, 1, 1, 3}.

2. Преобразовать систему векторов

{1, -1, 1, 1}, {-1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, -1} в ортонормированную.

2. Матрицы и квадратичные формы

2.1. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Число λ называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n, если можно подобрать такой ненулевой n-мерный вектор х, что Ах = λх . Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения | A – λE | = 0, которое называется характеристическим уравнением матрицы А.

Ненулевой вектор х называется собственным вектором квадратной матрицы А, соответствующим ее собственному значению λ, если Ах = λх . Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному значению λ, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений

(A – λE) х = θ :

= λ => =>

=> . (1)

Данная системы однородных уравнений имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю:

= 0.

Это и есть характеристическое уравнение матрицы А.

Множество решений системы (1) обозначим через А(λ).

Пусть λ₁, λ₂, …, λ_m – различные собственные значения матрицы А и пусть в каждом из множеств А(λ₁), А(λ₂), … , А(λ_m) выбраны линейно независимые системы векторов. Тогда объединение этих систем будет линейно независимой системой.

Собственные значения диагональной матрицы равны ее диагональным элементам.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А = .

Р е ш е н и е. Составим характеристическое уравнение

| A – λE | = = 0

или (4 – λ ) (2 – λ)² – 3 – 3 – (4 – λ ) + 3(2 – λ) + 3(2 – λ) = 0.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые – λ³ + 8 λ² – 25 λ + 18 = 0 или

λ³ – 8 λ² + 25 λ – 18 = 0. Отсюда λ³ – λ² – 7 λ² + 7 λ + 18 λ – 18 = 0 или

λ² (λ – 1) – 7λ (λ – 1) + 18(λ – 1) = 0 .

Вынесем общий множитель за скобки. Тогда получим уравнение (λ – 1) (λ² – 7λ + 18) = 0.

Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений

=>

Второе уравнение – квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом

D = (–7)² – 4·18 = 49 – 72 = –23.

Следовательно, оно не имеет действительных корней. Поэтому характеристическое уравнение имеет только один действительный корень  λ = 1, а матрица только одно собственное значение    

λ = 1. Найдём собственный вектор, принадлежащий этому собственному значению, решая уравнение

= .

Расписывая по компонентам и подставляя     λ = 1 , получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Второе и третье уравнения одинаковые. Поэтому систему можно переписать в виде:

Сложим оба уравнения, а затем из второго вычтем первое. Получим Отсюда

и мы имеем собственный вектор x = = α .

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Р е ш е н и е. 1. Характеристическое уравнение имеет вид

= 0 или λ³ – 6λ² + 11λ – 6 = 0. Отсюда λ₁ = 1, λ₂ = 2, λ₃ = 3.

2. Находим собственные векторы, соответствующие λ = 1.

Решая ее, получим x₁ = x₂ = x₃. Собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 1, имеют вид х = α , где α ≠ 0 – произвольная константа.

Далее рассматриваем случай λ = 2:

Решая ее, получим x₁ = x_3; x₂ = 0. Собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 2, имеют вид х = α , где α ≠ 0 – произвольная константа.

Случай λ = 3:

Решая ее, получим x₁ = x_2; x₃ = 0. Собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 3, имеют вид х = α , где α ≠ 0 – произвольная константа.

Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А = .

Р е ш е н и е. Найдем характеристическое уравнение матрицы А:

| A – λE | = = -λ³ + 3λ + 2.

Далее находим корни этого характеристического уравнения -λ³ + 3λ + 2 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: – (λ – 2)(λ + 1)² = 0 .

Следовательно, матрица А имеет два собственных значения: λ₁ = 2, λ₂ = -1.

Следующим шагом находим собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 2. Для этого решаем систему уравнений

= 2   .

Получили однородную систему линейных уравнений. Находим ее фундаментальную систему решений:

~ ~ ~ ~ =

• . Общее решение: Х_о = . Свободный член один х₃. Положив

х₃ = 1, получим фундаментальную систему решений, которая состоит из одного вектора . Т.о., вектор α· = , α R, – произвольный собственный вектор, соответствующий собственному значению λ = 2.

Затем находим собственные векторы, соответствующие собственному значению

λ = -1. Для этого решаем систему уравнений

= -   .

Получили однородную систему линейных уравнений. Находим ее фундаментальную систему решений:

~ => х₁ + х₂ + х₃ = 0. Общее решение: Х_о = . Полагая последовательно х₂ = 1, х₃ = 0 и х₂ = 0, х₃ = 1, получим фундаментальную систему решений,

которая состоит из двух векторов и . Т.о., вектор α· + β = ,

α, β R, – произвольный собственный вектор, соответствующий собственному значению λ = -1.

Задания. Найти собственные значения и собственные векторы матриц :

1. А₁ = , 2. А₂ = , 3. А₃ = , 4. А₄ = ,

5. А₅ = .