4. Парадокс Гільберта
Парадокс Гільберта про Grand Hotel (великий готель) - це математичний достовірний парадокс (несуперечливе припущення, що є дуже нелогічним) про нескінченні множини. Парадокс полягає в тому, що в повністю заселений нескінченно великий готель можна додатково заселити нескінченну кількість гостей.
Розглянемо деякі випадки:
Скінченно багато нових гостей
Розглянемо гіпотетичний готель із зліченно нескінченною кількістю номерів, кожен з яких зайнятий - тобто кожен номер містить гостя. Можна подумати, що готель не в змозі вмістити нових гостей, як було б у випадку зі скінченним числом кімнат. Нехай новий гість прибуває і хоче бути розміщеним в готелі. Оскільки готель має нескінченно багато кімнат, ми можемо переселити гостя, що займає номер 1, у номер 2, гостя з номера 2 у номер 3 і так далі, і поселити нового гостя в номері 1. Повторюючи цю процедуру, можна звільнити місце для будь-якого зліченного числа нових гостей.
Нескінченно багато нових гостей
Також можливо розмістити "зліченно нескінченне" число нових гостей: просто перемістити гостя, який займає номер 1 у номер 2, гостя, що займає номер 2 в номер 4, гостя з номера 3 в номер 6 і так далі з номера n в номер 2*n, тоді всі непарні номери будуть вільними для нових гостей.
Ці випадки показують парадокс не в тому сенсі, що вони демонструють логічне протиріччя, а в тому сенсі, що вони демонструють нелогічний результат, який є правильним через доведення: ситуації "є гість для кожної кімнати" і "надалі гості не можуть розміститися" не є еквівалентними, якщо існує нескінченно багато кімнат (аналогічна ситуація представлена в діагональному доказі Кантора).
Список посилань та літератури
uk.wikipedia.org
booksshare.net
read.in.ua
genealogy.math.ndsu.nodak.edu
ega-math.narod.ru
math.rsu.ru
Савочкіна Т.І. Методологічний аналіз метаматематичних тверджень в навчальних курсах основних математичних дисциплін // Збірник наукових праць Харківського національного педагогічного університету імені Г. С. Сковороди. «Засоби навчальної та науково-дослідної роботи». — 2011
Вейль Г. Полвека математики. — М.: Знание, 1969
Д. Гильберт. Основания геометрии. — Л., «Сеятель», 1923