II. Функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции.
1. Функции комплексного переменного. Непрерывность функции.
Пусть
(D)
– множество в комплексной плоскости
и пусть задано правило f,
по которому каждой точке
поставлено в соответствие вполне
определенное комплексное число
.
В таком случае говорят, что на множестве
(D)
задана функция
.
Так как при каждом
является комплексным числом, то, обозначив
,
,
получим разложение
.
Представив z
в виде
(или
),
приходим к равенству
.
То есть, задать функцию комплексного
переменного – это все равно что задать
две действительные функции
и
от двух действительных переменных.
Очевидным
образом вводятся понятия предела и
непрерывности функции комплексного
переменного. Пусть функция
определена в некоторой (возможно,
проколотой) окрестности точки
.
Число
называется пределом
функции
при
,
если для любого положительного числа
ε
найдется положительное число δ,
такое что для любого z,
удовлетворяющего неравенству
,
,
справедливо неравенство
.
При этом пишут
.
Можно дать другое, равносильное этому,
определение. Число
является пределом функции
при
,
если для любой последовательности чисел
,
такой что
и
,
справедливо равенство
.
Пусть
,
и
,
,
.
Тогда равенство
равносильно системе равенств
Функция
,
определенная в некоторой окрестности
точки
,
называется непрерывной
в этой точке, если
.
Непрерывность функции
равносильна непрерывности ее составляющих
и
.
Все свойства пределов и непрерывности
функций действительного переменного,
не связанные с неравенствами, переносятся
и на функции комплексного переменного.
Отметим некоторые часто употребляемые функции комплексного переменного.
1.
Степенная функция
,
.
2.
Многочлен
,
где
– коэффициенты многочлена.
3.
Показательная функция
.
Для определения этой функции воспользуемся
формулой Эйлера. Пусть
,
тогда
.
Это
позволяет определить функцию
равенством
.
4.
Рациональная функция
,
где
,
– многочлены степени m
и n
соответственно.
5.
Дробно-линейная функция
,
где
,
при этом
.
6.
Для определения тригонометрических
функций
и
заметим, что из формулы Эйлера следует
система равенств
(второе равенство получается из первого путем замены φ на (–φ)). Образуем новую систему, равносильную этой, один раз складывая, другой раз вычитая эти равенства:
откуда получаем
Это позволяет по аналогии определить функции и :
, 
.
При
этом сохраняются все тригонометрические
тождества, известные из школьного курса.
Очевидным образом определяются функции
и
:
,
.
Все перечисленные функции непрерывны в области своего определения.
Пример.
Найдите
и
функций: а)
;
б)
.
Решение.
а) Согласно определению,
;
следовательно,
,
.
б) Пусть . Тогда
отсюда
получаем
,
.
2. Производная функции комплексного переменного.
Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точки
.
Придадим переменному z
в этой точке приращение Δz
(достаточно малое, чтобы не вывести z
за пределы области определения). Тогда
функция получит приращение
.
Рассмотрим
отношение
.
Устремим Δz
к нулю. Если существует конечный предел
этого отношения при
,
то он называется производной
функции
в точке
и обозначается
:
.
П
ринято
и другое обозначение производной:
.
Существование
производной у функции комплексного
переменного является более жестким
ограничением и влечет за собой большие
последствия, чем в случае функции
действительного переменного. Дело в
том, что в случае функции действительного
переменного стремление к числу
возможно только слева или справа, в
случае же функции комплексного переменного
стремление к числу
возможно по разным направлениям, и для
любого направления предел отношения
должен быть один и тот же.
Функция, имеющая производную в точке , должна быть непрерывной в этой точке. Действительно, при малых значениях Δz
,
и правая часть стремится к 0 при .
Пусть определена в некоторой окрестности точки ; придадим переменному z в этой точке приращение Δz. Предположим, что существует число такое, что приращение функции представимо в виде
, (1)
где
– бесконечно малая величина при
,
то есть
.
В таком случае говорят, что функция
дифференцируема в точке
,
а линейную (главную) часть приращения
функции
называют дифференциалом
функции и обозначают
:
.
Теорема
1.
Функция
дифференцируема в точке
в том и только в том случае, если она
имеет производную в этой точке, при этом
.
Доказательство. Пусть дифференцируема в точке , то есть имеет место равенство (1). Разделим обе части (1) на Δz:
.
Переходя
к пределу при
и учитывая, что
,
получим
.
Обратно,
пусть существует
.
Обозначим
.
Тогда
,
и это приводит к равенству
,
то есть
дифференцируема в точке
.
Теорема доказана.
Таким образом, дифференцируемость функции и существование производной функции – равносильные требования. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием.
Пусть . Возникает вопрос: какие ограничения накладывает дифференцируемость функции на ее составляющие и ? Ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема 2. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , дифференцируема в этой точке в том и только в том случае, если в этой точке выполнены следующие равенства, называемые условиями Коши-Римана:
(2)
(Предполагается, что функции и дифференцируемы.)
Доказательство.
Пусть
функция
дифференцируема в точке
,
то есть справедливо равенство (1), и пусть
.
Тогда
,
,
,
где
,
таковы, что
,
.
Равенство (1) принимает вид
, (3)
или
. (4)
Приравнивая действительные и мнимые части выражений, приходим к системе
(5)
Из этих равенств следует, что
поэтому получаем
(6)
откуда и следуют равенства (2).
Обратно, пусть справедливы равенства (2). Тогда справедливы (последовательно) равенства (6), (5), (4) и (3), а последнее из них и говорит о дифференцируемости . Теорема доказана.
Из доказательства теоремы 2 следует, что
.
Если функция дифференцируема в каждой точке области (D), то она называется дифференцируемой в области (D).
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки , то она называется аналитической в точке . Если функция является аналитической в каждой точке области (D), то она называется аналитической в области (D).
Для дифференцируемых функций комплексного переменного справедливы те же правила дифференцирования, что и в вещественном случае (при этом они выводятся так же):
; 
;
;
; 
(здесь С – постоянная величина). То же верно и для таблицы производных:
;
;
;
;
.
В частности, справедлив аналог формулы Лагранжа.