2.4. Формула включень та виключень.

Розглянемо задачу: Нехай є предметів, деякі з яких мають властивості . При цьому окремий предмет може не мати жодної з цих властивостей, або мати деякі (або, навіть, всі) властивості. Позначимо через кількість предметів, які мають властивості . Якщо відомо, що предмети не володіють властивістю , то кількість таких предметів позначимо через . Загальна формула включень та виключень підраховує кількість предметів , що не володіють жодною з властивостей.

Твердження 2.7. Кількість предметів, які не володіють ні однією з властивостей , обчислюється за формулою

(2.7).

Доведення. Проведемо доведення методом математичної індукції за кількістю властивостей .

1. Для маємо очевидну рівність , тобто база індукції виконується.

2. Припустимо, що формула виконується для властивостей, тобто

. (*)

На основі цього припущення доведемо, що вона вірна і для властивості.

Формула (*) виконується як для предметів, що мають властивість , так і для тих, що не мають її, тобто можна записати:

. (**)

Від (*) віднімемо (**):

. (***)

В правій частині формули (***) одержали праву частину формули включень та виключень для властивості.

Розглянемо ліву частину формули (***).  кількість предметів, що не мають властивостей , та, можливо, мають властивість , а  кількість предметів, що не мають властивостей , та точно мають властивість . Тому , тобто в лівій частині формули (***) одержали ліву частину формули включень та виключень для властивості. Тим самим формула 2.7 доведена для випадку властивості. На основі принципу математичної індукції формула 2.7 виконується для будь-якої натуральної кількості властивостей. ■

Приклад 2.3. Знайти кількість чисел від 1 до 1000, які не діляться на жодне з чисел 2, 3, 5.

Маємо три властивості: число ділиться на 2, число ділиться на 3 та число ділиться на 5. Кількість таких чисел позначимо через відповідно. Аналогічно позначимо числа, що одночасно діляться на 2 та на 3; на 2 та на 5; на 3 та на 5; на 2, на 3 і на 5. Знайдемо ці кількісні характеристики. На 2 ділиться кожне друге число, тому . Аналогічно , (через позначатимемо цілу частину числа ). Знайдемо . Оскільки 6  найменше число, що одночасно ділиться на 2 та на 3, то . Аналогічно , , . Скористаємося формулою включень та виключень:

. ■

2.5. Композиції та розбиття. Досконалі розбиття.

Композиція натурального числа  це його зображення у вигляді суми натуральних доданків , причому враховується як величина доданків, так і їх порядок розташування у сумі. Так, композиції числа 3 мають такий вигляд 3, 2+1, 1+2, 1+1+1.

Знайдемо кількість композицій довільного натурального числа .

Твердження 2.8. .

Доведення. Кожна композиція числа може містити доданків. Позначимо через кількість композицій числа на доданків. Ясно, що .

Спочатку знайдемо . Кожну таку композицію можна однозначно зобразити у вигляді одиниць, розділених знаками , і кількість одиниць між сусідніми плюсами відповідає величині відповідного доданку. Для однозначного визначення такої композиції необхідно і достатньо визначити місця, на яких знаходяться всі знаки . Оскільки 0 не може бути доданком композиції, то знак може стояти тільки після одиниці, причому не після останньої. Таким чином існує місце для одиниці, їх можна розмістити способами, тобто . Тоді . ■

На практиці найчастіше зустрічаються композиції з обмеженням на величину доданків, тобто такі композиції, в яких кожний доданок належить деякій, заздалегідь визначеній множині . Нехай . Будемо позначати кількість композицій числа на доданки з множини через , або для короткості запису, через . Очевидно, що якщо елемент множини міститься у композиції, то . Тому, для простоти, в множині залишимо лише ті елементи, які можуть бути доданками композиції.

Розглянемо процедуру обчислення величини . Першим доданком може бути будь-який елемент множини , і в залежності від вибору першого елементу, ми одержимо різні композиції. Якщо ж ми обрали першим доданком число , то далі треба знайти композицію числа . Тоді за правилом суми

.

Зрозуміло, що (тобто до цього ми все робили вірно і одержали суму числа з елементів множини ) та при (тобто ми з елементів множини одержали суму, яка більше числа , що не є його композицією).

Приклад 2.4. Знайти кількість композицій числа 9 на доданки 2, 3, 5.

. ■

Розбиття натурального числа  це його зображення у вигляді суми натуральних доданків , причому враховується величина доданків, а їх порядок розташування у сумі не враховується. Так, розбиття числа 3 мають такий вигляд 3, 2+1, 1+1+1.

На практиці найчастіше зустрічаються розбиття з обмеженням на величину доданків, тобто такі розбиття, в яких кожний доданок належить деякій, заздалегідь визначеній множині , і можливо, може входити в розбиття заздалегідь визначену кількість разів.

Спочатку розглянемо випадок, коли кожний доданок може входити в розбиття будь-яку кількість разів (тобто ніяких обмежень на кількість доданків нема). Нехай . Нехай для визначеності, . Будемо позначати кількість розбиттів числа на доданки з множини через . Очевидно, що якщо елемент множини міститься у композиції, то . Тому, для простоти, в множині будемо завжди залишати лише ті елементи, які можуть бути доданками композиції.

Розглянемо процедуру обчислення . Елемент множини може або входити у розбиття, або ні, і в залежності від цього одержимо різні розбиття. Якщо входить до розбиття, то далі треба знайти композицію числа , якщо ж ні, то з списку доданків вилучаємо . Тоді за правилом суми

.

Зрозуміло, що (тобто до цього ми все робили вірно і одержали суму числа з елементів множини ), при (тобто до цього ми з елементів множини одержали суму, яка більше числа , що не є розбиттям ) та при (тобто до цього ми з елементів множини одержали суму, яка менша числа , а інших доданків нема, що не є розбиттям ).

Приклад 2.5. Знайти кількість розбиттів числа 9 на доданки 5, 3, 2.

. ■

Розглянемо випадок, коли існують обмеження на кількість доданків. У такому випадку найлегше підрахувати кількість розбиттів за допомогою так званої твірної функції (Зауважимо, що розгляд теоретичних аспектів поняття твірної функції виходить за рамки цього посібника).

Нехай треба знайти кількість розбиттів числа на доданки , причому доданок може входити в розбиття раз, доданок  раз, ... , доданок  раз. Тоді твірна функція для цього випадку має вигляд

,

а кількість розбиттів числа дорівнює коефіцієнту при з твірної функції.

Як пояснення сказаного вище зауважимо, що будь-яке розбиття однозначно задається кількістю кожного доданка. У твірній функції перша дужка відповідає кількості першого доданка, помноженого на його величину, друга дужка  другого доданка, помноженого на його величину і т.д. При множенні двох степеневих виразів з однаковою основою показники степенів додаються, і таким чином, одержують розбиття числа . Кількість таких виборів кожного з доданків , які в сумі дають число дорівнює коефіцієнту при .

Твірну функцію доцільно використовувати і у випадку, коли кількість кожного доданка необмежена, тоді треба власноруч перерахувати всі можливі кількості кожного доданка та записати твірну функцію.

Також твірна функція є корисною при обчисленні кількості розбиттів, коли різні доданки мають однакову величину.

Приклад 2.6. Знайти кількість варіантів покупки 5 олівців, якщо відомо, що чорний олівець може бути у покупці 0, 1, 3 рази; синій  1, 3, 4 рази; набір з двох червоних  0, 1 рази; жовтий  0, 1, 2 рази; зелений  0, 3 рази.

Складемо твірну функцію:

.

Знайдемо  коефіцієнт при з твірної функції. При цьому зауважимо, що всі степені  невід’ємні числа, тому більше ніж 5 степінь рахувати непотрібно. Оскільки з другої дужки твірної функції можна винести , то треба рахувати до 4 степені включно. Найбільш швидкий спосіб розкриття двох дужок полягає у пошуку всіх варіантів утворення кожної степені (на відміну від множення кожного доданка першої дужки з кожним доданком другої, з подальшим пошуком подібних доданків).

. ■

Розглянемо ще один варіант розбиття.

Будемо говорити, що розбиття числа містить в собі розбиття числа , якщо існують такі числа з множини , що .

Розбиття числа називається досконалим, якщо воно містить в собі, причому єдине, розбиття будь-якого натурального числа .

Якщо доданок входить до розбиття раз, то для більш стислого запису ми позначатимемо це далі у підрозділі через . Зрозуміло, що будь-яке натуральне число допускає досконале розбиття . Всі досконалі розбиття числа можна знайти за допомогою

Твердження 2.9. Кількість досконалих розбиттів натурального числа дорівнює кількості впорядкованих розкладів числа в добуток цілих співмножників, більших одиниці.

Доведення. Нехай  деяке досконале розбиття числа , причому . Воно обов’язково містить в собі розбиття одиниці, тому . Припустимо, що це досконале розбиття має точно одиницю, тобто та . Тоді вказане досконале розбиття містить в собі розбиття будь-якого натурального .

Якщо , то його досконале розбиття містить у собі і розбиття числа . Оскільки не може дорівнювати одиниці, то . Нехай кратність доданка в нашому досконалому розбитті дорівнює , тобто , та . Тоді розглянувши знайдені доданки нашого досконалого розбиття, а саме одиницю та штук доданку , одержимо єдине розбиття будь-якого натурального числа .

Якщо , то його досконале розбиття містить у собі і розбиття числа , тому . Нехай кратність доданка в досконалому розбитті дорівнює . Тоді ми маємо єдине розбиття будь-якого натурального числа .

Міркуючи далі таким же чином, остаточно одержимо, що , де ( )  кількість доданку 1 в розбитті; ( )  кількість доданку ; ( )  кількість доданку ; ... ; ( )  кількість доданку .

Таким чином ми встановили взаємно однозначну відповідність між множиною досконалих розбиттів числа та множиною впорядкованих розкладів числа в добуток цілих співмножників, що більші одиниці. ■

Приклад 2.7. Знайти всі досконалі розбиття числа 11.

Зобразимо всі досконалі розбиття у таблиці 2.1.

Розклади числа			Доданки			Кількість доданків			Досконалі розбиття числа
2	2	3	1	2	4	1	1	2
2	3	2	1	2	6	1	2	1
2	6	-	1	2	12	1	5	-
3	2	2	1	3	6	2	1	1
3	4	-	1	3	12	2	3	-
4	3	-	1	4	12	3	2	-
6	2	-	1	6	12	5	1	-
12	-	-	1	12	-	11	-	-

Таб. 2.1. Досконалі розбиття числа 11.

■