Самостоятельная работа №4 Тема: Геометрическая вероятность для одномерного случая

Цель: сформировать навыки решения задач на применение геометрического определения вероятности, графическое представление вероятности.

Время выполнения: 4 часа

Теоретические сведения

Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В таких случаях можно воспользоваться понятием геометрической вероятности.

Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:

(1)

где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L.

Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и вероятности того, что она попадет на часть этой области s:

(2)

где s – площадь части области, а S – площадь всей области.

В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле V, попадет в его часть v, задается формулой:

(3)

где v – объем части тела, а V – объем всего тела.

Пример 1. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в него.

Решение. Пусть радиус круга равен R , тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При этом площадь круга а площадь шестиугольника Следовательно,

Пример 2. На отрезок АВ случайным образом брошены три точки: С, D и М. Найти вероятность того, что из отрезков АС, АD и АМ можно построить треугольник.

Решение. Обозначим длины отрезков АС, АD и АМ через x, y и z и рассмотрим в качестве возможных исходов множество точек трехмерного пространства с координатами (х, у, z). Если принять длину отрезка равной 1, то эти множество возможных исходов представляет собой куб с ребром, равным 1. Тогда множество благоприятных исходов состоит из точек, для координат которых выполнены неравенства треугольника: x + y > z, x + z > y, y + z > x. Это часть куба, отрезанная от него плоскостями x + y = z, x + z = y, y + z =х

Рисунок 1 – плоскость x + y = z

(одна из них, плоскость x + y = z, проведена на рис.1). Каждая такая плоскость отделяет от куба пирамиду, объем которой равен . Следовательно, объем оставшейся части . Тогда

Задание для самостоятельной работы:

Подобрать одно задание на применение геометрической вероятности и изобразить графически. Оформить согласно требований.

Рекомендуемая литература: 1;3; 4; 5.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №5

Тема: Сравнительный анализ вычисления числовых характеристик дискретных и непрерывных случайных величин

Цель: сформировать навыки решения задач на применение формул числовых характеристик дискретной и непрерывной случайных величин; умение анализировать полученные результаты.

Время выполнения: 6 часов

Теоретические сведения

Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется и более удобное понятие случайной величины.

Определение: Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Определение: Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Определение: Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.

Определение: Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений этой величины на соответствующие им вероятности и обозначается:

- для непрерывной случайной величины

Определение: Дисперсией или рассеяньем дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

- для Непрерывной случайной величины

- среднее квадратическое отклонение для Дискретной и Непрерывной случайных величин

Пример 1. Вычислить M[x], D[x], σ[x] по данному закону распределения

х	2	3	4	5
р	21/252	105/252	105/252	21/252

Решение:

Ответ. M[X]=3.5; D[X]=0.25;

Пример 2. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти M[x], D[x], σ[x]

Решение.

Вывод: Проделав вычисления числовых характеристик ДСВ и НСВ можно сказать, что проводить расчет независимо для какой величины одинаково по сложности. Формулы обладают индивидуальными особенностями относительно каждой случайной величины. Можно сказать, что очевидна их внешняя схожесть и алгоритм вычисления.

Задание для самостоятельной работы:

Подобрать две задачи на вычисление числовых характеристик для дискретной и непрерывной случайных величин. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение для ДСВ и НСВ. Сравнить полученные результаты, методы нахождения характеристик и сделать выводы. Оформить согласно требований.

Рекомендуемая литература: 1;2.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №6

Тема: Метод максимума правдоподобия

Цель: сформировать навыки проверки гипотез о средних величинах и видах распределения, используя критерий согласия и критерий Колмогорова

Время выполнения: 6 часов

Теоретические сведения

Метод максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве «наиболее правдоподобного» значения параметра берут значение , максимизирующее вероятность получить при опытах данную выборку . Это значение параметра зависит от выборки и является искомой оценкой.

Определение: Функция (случайная величина при фиксированном )

называется функцией правдоподобия.

Определение: Функция

называется логарифмической функцией правдоподобия.

Определение: Оценкой максимального правдоподобия неизвестного параметра называют значение , при котором функция достигает максимума (как функция от при фиксированных ):

Пример. Пусть - выборка объема из распределения Пуассона , где . Найдем ОМП неизвестного параметра .

Поскольку эта функция при всех непрерывно дифференцируема по , можно искать точки экстремума, приравняв к нулю частную производную по . Но удобнее это делать для логарифмической функции правдоподобия:

Тогда

и точка экстремума - решение уравнения: , то есть .

Задание для самостоятельной работы:

1. Убедиться, что - точка максимума, а не минимума.

2. Убедиться, что совпадает с одной из оценок метода моментов.

Рекомендуемая литература: 3; 4; 5

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №7

Тема: Гипотезы о средних величинах и видах распределения

Цель: сформировать навыки проверки гипотез о средних величинах и видах распределения, используя критерий согласия и критерий Колмогорова

Время выполнения: 4 часа

Теоретические сведения

Определение: Статистической гипотезой называется всякое непротиворечивое множество утверждений {Н₀, Н₁, …, H_k-1} относительно свойств распределения случайной величины. Любое из утверждений H_i называется альтернативой гипотезы. Простейшей гипотезой является двухальтернативная {H₀, H₁}. В этом случае альтернативу H₀ называют нулевой гипотезой, а H₁ - конкурирующей гипотезой.

Определение: Критерием называется случайная величина , которая позволяет принять или отклонить нулевую гипотезу H₀.

При проверке гипотез можно допустить ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отклонена гипотеза H₀, если она верна ("пропуск цели"). Вероятность совершить ошибку первого рода обозначается α и называется уровнем значимости. Наиболее часто на практике принимают, что α = 0,05 или α = 0,01.

Ошибка второго рода заключается в том, что гипотеза H₀ принимается, если она неверна ("ложное срабатывание"). Вероятность ошибки этого рода обозначается β.

Определение: Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения.

Критерий согласия

Это один из наиболее часто применяемых критериев. Алгоритм проверки гипотезы следующий.

1. Построить гистограмму равновероятностным способом.

2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу

,

,

где f₀(x) - плотность вероятности гипотетического закона распределения: равномерного, экспоненциального или нормального.

Замечание. Гипотезу об экспоненциальном законе распределения можно выдвигать в том случае, если все числа в выборке положительные.

3. Вычислить значение критерия по формуле

где - частота попадания в i-й интервал;

- теоретическая вероятность попадания случайной величины в i- й интервал при условии, что гипотеза H₀ верна.

Формулы для расчета в случае экспоненциального, равномерного и нормального законов соответственно равны.

Экспоненциальный закон

При этом A₁ = 0, B_m = +∞.

Равномерный закон

Нормальный закон

При этом A₁ = -∞, B_M = +∞.

Замечания. После вычисления всех вероятностей проверить, выполняется ли контрольное соотношение

4. Из таблицы "Хи-квадрат" приложения выбирается значение , где α - заданный уровень значимости (α = 0,05 или α = 0,01), а k - число степеней свободы, определяемое по формуле

Здесь s - число параметров, от которых зависит выбранный гипотезой H₀ закон распределения. Значения s для равномерного закона равно 2, для экспоненциального - 1, для нормального - 2.

5. Если , то гипотеза H₀ отклоняется. В противном случае нет оснований ее отклонить.

Критерий согласия Колмогорова

Последовательность действий при проверке гипотезы следующая.

1. Построить вариационный ряд.

2. Построить график эмпирической функции распределения F^*(x).

3. Выдвинуть гипотезу:

,

,

где F₀(x) - теоретическая функция распределения типового закона: равномерного, экспоненциального или нормального.

Ниже приведены формулы для расчета F₀(x).

Равномерный закон

Экспоненциальный закон

Нормальный закон

4. Рассчитать по формулам 10-20 значений и построить график функции F₀(x) в одной системе координат с функцией F^*(x).

5. По графику определить максимальное по модулю отклонение между функциями F^*(x) и F₀(x).

6. Вычислить значение критерия

7. Принимают тот или иной уровень значимости (чаще всего 0,05 или 0,01). Тогда доверительная вероятность γ =1−α .

8. Из таблицы вероятностей Колмогорова (см. приложение) выбрать критическое значение λ_γ.

9. Если λ > λ_γ , то нулевая гипотеза H₀ отклоняется, в противном случае - принимается, хотя она может быть неверна.

Достоинства критерия Колмогорова по сравнению с критерием χ²: возможность применения при очень маленьких объемах выборки (n < 20), более высокая «чувствительность» а следовательно, меньшая трудоемкость вычислений.

Недостаток: критерий можно использовать в том случае, если параметры Q₁, ..., Q_k распределения заранее известны, а эмпирическая функция распределения F^*(x) должна быть построена по несгруппированным выборочным данным.

Задание для самостоятельной работы:

Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия χ² и критерия Колмогорова (α = 0,05).

Рекомендуемая литература: 3; 4; 5

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №8

Тема: Генеалогическое древо

Цель: сформировать навыки составления графов на примере генеалогического древа семьи.

Время выполнения: 4 часа

Теоретические сведения

Граф – это множество вершин V, связи между которыми определены множеством ребер Е. G=(V,E).

Деревом называется конечный связанный граф с выделенной вершиной (корнем), не имеющий циклов.

Для каждой пары вершин дерева – узлов – существует единственный маршрут, поэтому вершины удобно классифицировать по степени удаленности от корневой вершины.

Рассмотрим пример составленного древа известного поэта 19 века: