Задачи для самостоятельной работы
Задача 2.5. Имеются две папки с документами по 12 и 10 документов в каждой соответственно, причем в каждой папке один документ еще не зарегистрирован. Документ, взятый случайно из первой папки, переложен во вторую. Определить вероятность извлечения незарегистрированного документа из второй папки.
Задача 2.6. Один из трех студентов вызывается для ответа на вопрос преподавателя. Ответ правильный. Вероятность правильного ответа для первого студента равна 0,3; для второго – 0,5; для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что вызван был второй студент.
Задача 2.7. Условием сдачи зачета является ответ на один из двух заданных вопросов. Студент не знает ответов на 5 вопросов из 30 возможных. Какова вероятность сдачи зачета? Как изменится вероятность сдачи зачета, если студент должен ответить на два вопроса из трех заданных.
Задача 2.8. Придумайте сами и решите по одной задаче на использование формулы полной вероятности и формулы Байеса.
3. Случайные величины дискретных источников
3.1. Случайные величины
Случайной называют величину, которая в результате опыта может принимать заранее неизвестное значение из некоторого диапазона ее изменения.
Случайная величина (СВ) есть функция, которая каждому событию Аj из множества А ставит в соответствие множество точек на числовой прямой прямой. Каждое значение СВ имеет некоторую вероятность появления (исхода).
СВ называется дискретной, если множество ее возможных значений счетное и конечное, то есть пространство исходов конечно. Общими формами представления распределения для дискретной СВ являются:
1) ряд распределения;
2) функция распределения.
Рядом распределения P(z) дискретной СВ z называют таблицу, в которой перечислены возможные значения СВ z1, z2,…, zn и соответствующие им вероятности р1, р2,…, рn
Таблица 3.1. – Ряд распределения
zi |
z1 |
z2 |
… |
zn |
pi |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Здесь
,
Функцией распределения дискретной СВ называют функцию F(z), равную вероятности P(Z<z) того, что СВ будет меньше произвольно выбранного значения z. Функция распределения F(z) вычисляется по формуле
(3.1)
где суммирование ведется по всем значениям i, для которых zi<z. Таким образом, F(z) является функцией накопления вероятностей.
Вероятность попадания СВ z на интервал (а, b) выражается формулой
.
(3.2)
Пример 3.1. При дискретном подбрасывании игральной кости получены следующие результаты: «1» выпала два раза, «2» – один раз, «3» – четыре раза, «4» – два раза, «5» – ноль раз, «6» – один раз. Требуется определить функцию распределения СВ – выпадения некоторого количества очков на игральной кости.
Решение. Вероятность выпадения k очков определим по формуле pk=nk/ 10, где k – количество исходов, в которых зафиксировано выпадение k очков. Значения функции распределения вероятности выпадения k очков определим как сумму F(k)=p1+p2+…+pk-1+pk
р1=0,2; р2=0,1; р3=0,4; р4=0,2; р5=0; р6=0,1.
Результаты для вычисления функции распределения сведем в таблицу 3.2.
Таблица 3.2. – Распределения вероятностей
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
pk |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,2 |
0 |
0,1 |
F(k) |
0 |
0,2 |
0,3 |
0,7 |
0,9 |
0,9 |
Полученные значения вариационного ряда и функции распределения в графическом виде представлены на Рисунках 3.1, 3.2.
Рисунок
3.1. – Вариационный ряд
Рисунок
3.2. – Функция распределения
;
…;
