5 Розв’язок системи нелінійних рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей методом Ньютона

Розв’язок системи трансцендентних рівнянь (9) методом Ньютона передбачає ітераційний процес, на кожному р-м кроці якого р=1,2…вирішується щодо поправок до шуканих невідомих лінеаризована система рівнянь (10). У системі (10) ліворуч знаходиться квадратна матриця перших похідних функцій небалансів потужностей у вузлах по модулях і фазах невідомих напруг U₁ , U₂ (матриця Якобі). Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь (10) методом Гаусса дозволяє одержати нові (уточнені) значення шуканих невідомих за формулами (11). Ітераційний процес продовжується доти, поки небаланси (нев’язки) у (9) не стануть менше необхідної точності  , наприклад,  = 0,001 МВт, Мвар.

Для формування лінеаризованої системи рівнянь (10) необхідно одержати вирази для перших похідних функцій небалансів активних і реактивних потужностей у вузлах по модулях і фазах невідомих напруг. Ці вирази одержуються у такому вигляді:

(10)

(11)

(12)

У ці вирази слід підставляти знайдені чисельні значення активних і реактивних складових вузлових провідностей зі знаком плюс, пам'ятаючи про зауваження, наведене у п. 4.3.

Порядок ітераційного розрахунку

1) Задаємося початковим (нульовим) наближенням невідомих. Рекомендується прийняти .

2) Розраховуємо небаланси активних і реактивних потужностей на нульовому кроці (праві частини в системі (10) згідно з (9) і порівнюємо їх із заданою точністю. Якщо необхідна точність досягнута – кінець розрахунку, якщо ні – йти до п. 3.

3) Підставляємо початкові наближення невідомих у вирази (12) для похідних і розраховуємо нульове наближення елементів матриці Якобі. На цьому закінчується формування лінеаризованої системи рівнянь. Її слід записати в матричній формі (10).

4) Розв’язуємо систему рівнянь (10) на комп'ютері за програмою D:\STUDENT\MAT_ZAD\LIN_UR чи Matcad. Знаходимо перше наближення поправок і невідомих згідно з (11). Далі слід іти до п. 2, тобто розрахувати небаланси P і Q на першому кроці, підставивши в (9) перше наближення невідомих, і порівняти їх з необхідною точністю. Якщо вона не досягнута, виконується п. 3 алгоритму, тобто перше наближення невідомих підставляється у вирази (12) для похідних і розраховуються нові значення елементів матриці Якобі.

Далі виконується п. 4 алгоритму, знаходиться друге наближення поправок і невідомих , і виконується перехід до п. 2.

Після знаходження небалансів на першому кроці слід виконати ітераційний процес, починаючи з нульового кроку, за допомогою програми NYUTON. Розрахунки проводити до досягнення заданої точності.

Розраховані напруги слід порівняти зі знайденими на комп'ютері за програмами GAUSS і ZEIDEL і зробити висновки про величини похибок. На цьому розрахунок напруг у вузлах закінчується.

6. Розрахунок струмів і потужностей віток

Розрахунок струмів віток слід почати після попереднього нанесення на схему заміщення мережі прийнятих позитивних напрямків для струмів (потоків потужності) і значень комплексів вузлових напруг, представлених через дійсні і уявні складові після їхнього уточнення в результаті розрахунку режиму на комп'ютері.

Матриця-стовпець фазних струмів може бути знайдена так:

. (13)

Тут - діагональна матриця провідностей віток, знайдена в п.1.2 роботи; - матриця-стовпець напруг віток. У зв'язку з відсутністю у вітках ЕРС напруга на i-й вітці може бути знайдена через міжфазні напруги на початку і наприкінці даної вітки i: Тоді струм i - ої вітки за законом Ома дорівнює:

.

Якщо представити провідність вітки через активну і реактивну складові, а напруги і струми через дійсні й уявні частини, то одержимо

прирівнявши окремо дійсні і уявні частини, маємо (14)

Тут усі і для вихідних даних курсової роботи додатні. Розрахунки за (14) слід виконати для всіх п'яти віток, скопиставшись програмами в системі Mathcad IPQ1 та IPQ2.

Знайдений струморозподіл необхідно нанести на схему мережі, попередньо уточнивши вузлові струми, і перевірити баланси струмів у вузлах.

Потужності трьох фаз на початку S_N i і наприкінці S_К i вітки i , якщо за позитивний напрямок струмів і потоків потужності прийняти напрямок від вузла N до вузла K ,дорівнюють

Прирівнявши дійсні і уявні частини, одержуємо вирази для активних P_N i , P_K i і реактивних Q_N i , Q_K i потужностей на початку й кінці кожної вітки:

(15)

Розрахунки за (15) слід виконати для всіх п'яти віток за допомогою програм IPQ1 та IPQ2 в Mathcad.

Отриманий у результаті обчислень за (15) знак P чи Q показує, чи збігається фактичний напрямок потоків потужності із прийнятим. Знайдений потокорозподіл необхідно нанести на схему мережі і перевірити баланси потужностей у вузлах.

Втрати потужності в активному й індуктивному опорах вітки i дорівнюють різниці потоків потужності на початку і кінці вітки:

Сумарні втрати потужності можна визначити, підсумувавши втрати потужності у всіх вітках:

Результати розрахунку усталеного режиму треба представити на схемі заміщення мережі (аркуш формату А4). На схему заміщення нанести усі вихідні дані Z _i , S _i - в алгебраїчній формі, а також результати розрахунку: комплекси напруг у вузлах - в показниковій формі, струми і потужності віток - в алгебраїчній формі.