Функцияның үзіліссіздігі. Функцияның үзіліс нүктелерін классификациялау
Егер төмендегі шарттар орындалса, онда у=f(х) функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз деп айтады:
f(х) функциясы x0 нүктесінде және оның аймағында анықталған;
x0 нүктесінде f(х) функциясының ақырлы шегі бар;
x0 нүктесіндегі функцияның мәні осы нүктедегі функцияның шегіне тең болады, яғни
Δx=x-x0 шамасын x0 нүктесінде аргументтің өсімшесі деп (бұдан мынаны аламыз x=x0+Δx), ал Δf(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)шамасын x0 нүктесіндегі f(x) функцияның өсімшесі деп атаймыз.
Осы терминдерді қолдансақ, функцияның үзіліссіздік шартын (2) былай жазуымызға болады:
яғни функция қарастырып отырған нүктеде үзіліссіз болуы үшін оның осы нүктедегі ақырсыз аз өсімшесіне функцияның ақырсыз аз өсімшесі сәйкес келуі керек екен.
Егер функция бір обылыстың кез-келген нүктесінде үзіліссіз болатын болса, онда функцияны осы обылыста үзіліссіз функция деп айтады.
Егер
x0
нүктесінде функция үзіліссіз болмайтын
болса онда бұл нүктені функцияның үзіліс
нүктесі
деп айтады. Егер x0
нүктесінде функцияның сол және оң жақты
шектері бар болып, олар өзара тең болмаса,
ондай x0
үзіліс нүктесін бірінші
текті үзіліс нүктесі
деп атаймыз. Егер сол және оң жақты
шектердің біреуі жоқ болса, ондай үзіліс
нүктелерін
екінші текті үзіліс нүктелері
деп айтады. Егер сол және оң жақты шектер
бар болып, олар өзара тең болса, бірақ
осы нүктеде функцияның мәні анықталмаған
немесе анықталған болғанымен өзара тең
болып тұрған біржақты шектерге тең
болмаса, ондай үзіліс нүктелерін
жөнделетін
үзіліс нүктелері
деп айтамыз.
Үзіліссіз функциялардың қасиеттері:
Екі үзіліссіз функцияның қосындысы, көбейтіндісіьде үзіліссіз функция болады;
Егер бөлгіш болып тұрған функция нольге тең болмайтын болса, екі үзіліссіз функцияның бөліндісі де үзіліссіз функция болады;
Егер u=ϕ(x) функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз болатын болса, ал y=f(u) функциясы u0=ϕ(x0) нүктесінде үзіліссіз функция болатын болса, онда y=f(ϕ(x)) күрделі функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз функция болады;
Теорема 1 (Вейерштрасс). Егер кесіндіде берілген функция кесіндіде үзіліссіз болатын болса, онда ол осы кесіндіде шектелген функция болады.
Теорема 2 (Вейерштрасс). Егер кесіндіде берілген функция осы кесіндіде үзіліссіз болатын болса, онда ол осы кесіндіде өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды;
Теорема 3 (Больцано-Коши). Егер [a,b] кесіндісінде үзіліссіз болатын f(x) функция осы кесіндінің ұштарында әртүрлі таңбалы мәндер қабылдайтын болса, онда осы кесіyдінің ішінде жататын функция мәні нольге тең болатын ең болмағанда бір нүкте табылады.
Туындының анықтамасы
Бір аралықта (кесіндіде, интервалда) анықталған y=f(x) функциясы берілсін. Егер x нүктесінде аргумент Δx өсімше қабылдайтын болса, осы нүктеде функция да өсімше қабылдайды. Сонымен аргументтің x мәнінде функция мәні y=f(x) болады, ал аргуметтің x+Δx мәнінде функцияның мәні y+Δy=f(x+Δx) болады. Онда функцияның x нүктесіндегі өсімшесі Δy=f(x+Δx)-f(x) болады. Енді функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын қарастыралық:
Енді Δx→0 болғанда осы қатынастың шегі бар болсын делік, ол шекті f’(x) деп белгілеп f(x) функциясының x нүктесіндегі туындысы деп атаймыз. Сонымен анықтама бойынша:
немесе
Сонымен y функциясының x аргументі бойынша туындысы деп аргумент өсімшесі нольге ұмтылғанда функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының шегі бар болса сол шекті айтамыз екен.
Жалпы жағдайда функцияның кез-келген x нүктесінде оның туындысы f’(x) бар болады, сондықтан туындының өзі x аргументінің функциясы болады екен.
Туындыны оқулықтарда әртүрлі қылып белгілейді, мысалы:
Кейде туындының x=a нүктесінде есептелгенін көрсету керек болса мынандай да белгілеу қолданылады: y’|x=a.
Функцияның туындысын табуды функцияны дифференциалдау деп те айтады.
Егер y=f(x) функциясының x=x0 нүктесінде туындысы бар болса, яғни төмендегі шек бар болса:
онда біз y=f(x) функциясы x=x0 нүктесінде дифференциалданады деп те айтамыз.
Теорема. Егер y=f(x) функциясы x=x0 нүктесінде дифференциалданатын функция болатын болса (туындысы бар функция болатын болса) онда ол функция осы нүктеде үзіліссіз функция болады.