Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной СВ называется сумма всех её возможных значений на их вероятности .

Матожидание – не случайная величина. Для каждой СВ матожидание определено однозначно и ничего случайного в нем нет.

 Найти





Если СВ принимает счетное число значений, то матожидание СВ существует, если ряд сходится абсолютно.

 Найти матожидание появления события А в одном испытании, если Р (А) =р.

 СВ Х - число появлений А в одном испытании

	1	0



Cвойства математического ожидания

1. Матожидание постоянной величины равно ей: М[С]=С.

Доказательство:

Представим неслучайную величину в виде

	С
	1

Тогда М[С]=С*р=С 

2. Постоянный множитель можно вынести за знак матожидания М [С ]=С*М [ ].

Доказательство.

Если СВ представима как

	Х1	Х2	…	Хп
	Р1	Р2	…	Рп

тогда СВ С* представима как

С*	С*Х1	С*Х2	…	С*Хп
	Р1	Р2	…	Рп

Найдем 

2. Матожидание произведения двух независимых СВ равно произведению их матожиданий: М[XY]=М[X]М[Y].

Доказательство.

	х1	х2			y1	y2
	рх1	рх2			py1	py2

XY	х1*y1	х1* y2	х2*y1	х2* y2
	рх1*py1	рх1*py2	рх2*py1	рх2*py2



Следствие.

Матожидание произведения нескольких взаимно независимых СВ равно произведению их матожиданий: М[X₁…X_п]=М[X₁]…М[X_п].

2. Матожидание суммы двух СВ равно сумме их матожиданий:: М[X+Y]=М[X]+M[Y].

Следствие.

Матожидание суммы нескольких СВ равно сумме их матожиданий: М[X₁+…+X_п]=М[X₁]+…+М[X_п].

Дисперсия

Зачастую важно знать, насколько далеко удаляются значения СВ от центра, т.е. как отклоняются значения СВ от своего матожидания.

Отклонением СВ называется разность между СВ и ее матожиданием : Х-М[Х].

СВ:

Х	Х1	Х2	…	Хп
	Р1	Р2	…	Рп

Отклонение

Х-М[х]	Х1-М[х]	Х2-М[х]	…	Хп-М[х]
	Р1	Р2	…	Рп

Свойство отклонения. Матожидание отклонения равно 0: М[Х-М[Х]]=0.

Доказательство:

М[Х-М[X]]=М[Х]-М[М[Х]]=М[Х]-М[Х]=0 

Почему? Одни отклонения положительные, другие – отрицательные. Для характеристики рассеянния отклонение не годится.

Дисперсией СВ называется матожидание квадрата отклонения СВ от ее матожидания:

.

. Найти дисперсию для СВ Х

	1	0
	0.5	0.5





Формула для вычисления дисперсии: D[X]=М[X²]-М²[х]: дисперсия равна разности между матожиданием квадрата СВ и квадратом ее матожидания.

Доказательство:

D[X]=М[(X-М[X])²]=М[X²-2X*М[х]+М²[х]]=М[х²]-М[2X*М[X]]+М[М²[X]]=

=М[X²]-2М[X]М[X]+М²[X]=М[X²]-М²[X] 