Зміст практичного заняття

Розв’язування задач на коливання маятників

Задача 1 До нижнього кінця пружини, підвішеної вертикально, приєднана друга пружина, до кінця якої прикріплений вантаж. Коефіцієнти жорсткості пружини становлять відповідно k₁=300 Н/м і k₁=750 Н/м. Нехтуючи силою тяжіння пружин порівняно з силою тяжіння вантажу, знайти відношення потенційних енергій цих пружин .

Дано:

k₁=300 Н/м

k₁=750 Н/м

____________

Розв’язок

Під дією сили вантажу масою m обидві пружини розтягуються відповідно на l₁ i l₂. Виконана вантажем робота з розтягування пружин йде на збільшення потенціальної енергії пружин. Робота, виконана вантажем з розтягування першої пружини:

,

а робота з розтягування другої пружини:

Оскільки

,

то

Відповідь. .

Задача 2 Частинка масою m=0,01 кг здійснює гармонічні коливання з періодом Т=2 с. Повна енергія частинки, що коливається Е=0,1 мДж. Визначити амплітуду коливань А і найбільшу силу F , що діє на частинку.

Дано:

m=0,01 кг

Т=2 с

Е=0,1 мДж

_______________

А-?, F-?

Розв’язок

Для визначення амплітуди коливань використаємо вираз для повної енергії частинки:

,

де

.

Звідси амплітуда:

=0,045 м.

Оскільки частинка здійснює гармонічні коливання, то сила, яка діє на неї, є квазіупружною і може бути виражена співвідношенням:

,

де k-коефіцієнт квазіупружної сили, х – зміщення точки, що коливається.

Максимальна сила буде при максимальному зміщенні х_max=A:

.

Коефіцієнт квазіупружної сили:

.

Тоді:

=4,44 Н.

Відповідь. А=0,045 м, F=4,44 Н.

Задача 3 Матеріальна точка масою m = 50 г виконує гармонічні коливання з частотою  = 2 Гц. Амплітуда коливань А = 10 см. Визначити швидкість точки на момент часу, коли х = 0,5 с, максимальну силу, яка діє на точку та повну енергію її коливань.

Дано: Рівняння гармонічного коливання має вигляд:

m = 50 г = 510^-2 кг х = ACos( t+₀). Звідки: Cos( t+₀) = х/А.

 = 2 Гц Формулу швидкості отримаємо

А = 10 см = 0,1 м _х = dx/dt = –A Sin( t+₀). Звідси:

x = 6 см = 0,06 м , оскільки  = 2.

V, F_max, W –? Урахувавши, що Cos²( t+₀) + Sin²( t+₀) = 1,

отримуємо: .Звідси: ,  1,0 (м/с).

Максимальну силу, яка діє на точку, знайдемо з 2-го закону Ньютона: F_max = ma_max, де a_max – максимальне (амплітудне) значення прискорення, яке отримаємо з другої похідної:

= –A ² Cos( t+₀), або a_х = –A 4 ² ²Cos( t+₀).

Звідси: а_max = 4 ² ²A, , F_max = 4 ²2² 0,1510^–2  0,8 (Н).

Повна енергія точки дорівнює максимальній потенціальній або кінетичній енергії. Звідси: , де _max = A = 2А, тобто: .

W = 2 ²2²0,1²510^–2  0,04 (Дж).

Відповідь: 1 м/с, 0,8 Н, 0,04 Дж.

Задача 4  На кінцях невагомого стрижня завдовжки l = 1,0 м закріплено два тягарці, масою m i 2m. Визначити зведену довжину L і період коливань T даного фізичного маятника відносно горизонтальної осі, що проходить через середину стрижня.

Дано: Період коливань фізичного маятника визначається

l = 1,0 м з формули: , де L – зведена довжина

m₁ = m фізичного маятника: .

m₂ = 2m інерції маятника відносно осі коливань – т. О,

g = 9,8 м/с² M = m₁+m₂ = 3m – його маса, l_oc – відстань від

L, T –? центра мас т. С маятника до осі коливань т. О.

Момент інерції маятника: J_o = J₁ + J₂ = m₁(l/2)² + m₂(l/2)² = m(l/2)² + 2m(l/2)² =

. Відстань l_oc від осі коливань т.О до центра мас т. С дорівнює:

, де х₁ = -l/2 – відстань від першого тягарця до осі коливань т. О, х₂ = l/2 – відстань від другого тягарця до осі коливань.

Підставляючи до відповідної формули, отримуємо:

, .

Обчислюємо: = 1,5(м), 2,46(с).

Відповідь: 2,46 с.

Розв’язування задач на коливання точки

Задача 1 Точка бере участь у двох коливаннях поперечного напрямку х = AСost і y = ВSint, де А = 3 см, В = 2 см. Знайти рівняння траєкторії y(x) результуючого коливання і побудувати його, указавши напрямок руху точки вздовж траєкторії.

Дано:

х = A Cos t

y = B Sin t

А = 3 см = 310^-2 м

B = 2 см = 210^-2 м

y(х) – ?

Запишемо рівняння коливань у вигляді

: і далі:

Звідки, додавши ці рівняння і врахувавши, що , маємо:

або .

Це рівняння еліпса, з напівосями А і В . Щоб визначити напрямок руху точки по траєкторії, визначимо спочатку положення точки у момент часу t = 0: x₀ = AСos0 = A, y₀ = BSin0 = 0. Якщо , тоді x>0, y>0, тобто точка починає рухатися проти годинникової стрілки, як і показано на рисунку.

Задача 2 Частинка масою m = 0,01 кг здійснює гармонічні коливання з періодом T = 2 с. Повна енергія частинки, що коливається, становить E = 0,1 мДж. Визначити амплітуду А коливань і найбільше значення сили що діє на частинку.

Розв’язання. Для визначення амплітуди коливань скористаємося виразом повної енергії частинки:

де Звідси амплітуда

.

Оскільки частинка здійснює гармонічні коливання, то сила, що діє на неї, є квазіпружною і, отже, може бути виражена співвідношенням F=-kx, де k - коефіцієнт квазіпружної сили; x - зміщення точки, що коливається. Максимальною сила буде при максимальному зміщенні , що дорівнює амплітуді:

.

Коефіцієнт k виразимо через період коливань:

Підставивши вирази і провівши спрощення, отримаємо

Проведемо обчислення:

Відповідь:

Задача 3 Складаються два коливання однакового напрямку, що описуються рівняннями де = 3 cм = 2 см = 1/6 с = 1/3 с, Т=2 с. Побудувати векторну діаграму складання цих коливань і написати рівняння результуючого коливання.

Розв’язання. Для побудови векторної діаграми складання двох коливань одного напрямку треба зафіксувати який-небудь момент часу. Як правило, векторну діаграму будують для моменту часу t = 0. Перетворивши обидва рівняння до канонічної форми , отримаємо

Звідси бачимо, що обидва гармонічні коливання, які складаються, мають однакову циклічну частоту .

Початкові фази першого і другого коливань відповідно дорівнюють

Проведемо обчислення:

с^-1,

Зобразимо вектори і . Для цього відкладемо відрізки довжиною = 3 см і = 2 см під кутами = 30⁰ і = 60⁰ до осі Ох. Результуюче коливання відбуватиметься з тією ж частотою і амплітудою А, що дорівнює геометричній сумі амплітуд і : . Згідно з теоремою косинусів

Початкову фазу результуючого коливання можна також визначити безпосередньо з векторної діаграми (рис.49):

Рисунок Додавання коливань, що відбуваються у одному напрямку

Проведемо обчислення:

=4,84 см.

або =0,735 рад.

Оскільки результуюче коливання є гармонічним, має ту саму частоту, що і складові коливання, то його можна записати у вигляді

,

де А = 4,84 см = 3,144 , = 0,735 рад.

Відповідь: , де А = 4,84 см = 3,144 , = 0,735 рад.

Задача 4 Матеріальна точка здійснює гармонійні коливання. В деякий момент часу t зміщення точки x = 5 см, її швидкість v= 20 см/с і прискорення . Знайти циклічну частоту , період коливань Т, фазу коливань та амплітуду.

Розв’язування

Запишімо рівняння гармонійного коливання, швидкості і прискорення:

; (1)

; (2)

: . (3)

Поділивши (3) на (1), бачимо, що модуль , звідси знаходимо циклічну частоту:

Визначмо період коливань:

.

Щоб визначити фазу коливань поділимо рівняння (1) на (2):

, звідки

, або

.

За рівнянням (1) обчислимо амплітуду:

.

Відповідь: 0,071 м.

ЗАКРІПЛЕННЯ ВИВЧЕНОГО І ОЦІНЮВАННЯ РІВНЯ ЗНАНЬ:

Розв’язування задач:

Варіант 1

1. За 5 с маятник зробив 10 коливань. Чому дорівнює період коливань?

А. 5 с Б. 2 с В. 0,5 с Г. 50 с

2. Як зміниться період коливань вантажу на пружині, якщо масу вантажу збільшити в 4 рази?

А. Збільшиться в 4 рази Б. Збільшиться в 2 рази

В. Зменшиться в 2 рази Г. Зменшиться в 4 рази

3. Як зміниться період коливань вантажу на пружині, якщо твердість пружини збільшити в 4 рази?

А. Збільшиться в 4 рази Б. Збільшиться в 2 рази

В. Зменшиться в 2 рази Г. Зменшиться в 4 рази

4. Координата тіла, яке коливається змінюється за законом х = cos ( t/2 ). Чому дорівнює частота коливань? Усі величини подані в одиницях СІ.

А. ¼ Гц Б. ½ Гц В. 2 Гц Г. 4 Гц

5. Яким виразом визначається період коливань математичного маятника?

А. Б. В. Г.

6. Який приблизно період коливань математичного маятника довжиною 40 м? Прийняти прискорення вільного падіння g = 10 м/с².

А. 12 з Б. 1/12 с. В. 2 с. Г. 1/2 с.

7. Як зміниться період коливань математичного маятника, якщо його довжина зменшилася в 9 разів?

А. Збільшиться в 3 рази Б. Збільшиться в 9 рази

В. Зменшиться в 3 рази Г. Зменшиться в 9 рази

8. Яке з перерахованих коливань є вимушеним? а) Коливання вантажу на нитці, один раз відведеного від положення рівноваги і відпущеного; б) Коливання гойдалки, розгойдуваної людиною, що стоїть на землі.

А. Тільки а) Б. а) і б) У. Тільки б) Г. Ні а), ні б)

9. Вантаж підвішений на нитці і відхилений від положення рівноваги так, що його висота над землею збільшилася на 45 см. Приблизно з якою швидкістю тіло буде проходити положення рівноваги при вільних коливаннях?

А. 2 м/с Б. 3 м/с В. 9 м/с Г. 30 м/с.

10. При вільних коливаннях вантажу на пружині максимальне значення його потенціальної енергії 5 Дж, максимальне значення кінетичної енергії 5 Дж. У яких межах змінюється повна механічна енергія вантажу і пружини?

А. Змінюється від 0 до 5 Дж Б. Змінюється від 0 до 10 Дж

В. Не змінюється і дорівнює 5 Дж Г. Не змінюється і дорівнює 10 Дж

Варіант 2

1. За 6 с маятник зробив 12 коливань. Чому дорівнює частота коливань?

А. 0,5 Гц Б. 2 Гц В. 72 Гц Г. 6 Гц

2. Як зміниться період коливань вантажу на пружині, якщо масу вантажу зменшити в 4 рази?

А. Збільшиться в 4 рази Б. Збільшиться в 2 рази

В. Зменшиться в 2 рази Г. Зменшиться в 4 рази

3. Як зміниться період коливань вантажу на пружині, якщо твердість пружини зменшити в 16 разів?

А. Збільшиться в 4 рази Б. Збільшиться в 16 разів

В. Зменшиться в 16 разів Г. Зменшиться в 4 рази

4. Координата тіла, яке коливається змінюється за законом х = sin ( t ). Чому дорівнює період коливань? Усі величини виражені в одиницях СІ.

А. ¼ с Б. ½ с В. 2 с Г. 4 с

5. Яким виразом визначається частота коливань математичного маятника?

А. Б. В. Г.

6. Який приблизно період коливань математичного маятника довжиною 90 м? Прийняти прискорення вільного падіння g = 10 м/с².

А. 1/18 з Б. 1/3 с. В. 3 с. Г. 18 с.

7. Як зміниться період коливань математичного маятника, якщо його довжину збільшили в 9 разів?

А. Збільшиться в 3 рази Б. Збільшиться в 9 рази

В. Зменшиться в 3 рази Г. Зменшиться в 9 рази

8. Яке з перерахованих коливань є вільним? а) Коливання вантажу на пружині, після однократного його відхилення від положення рівноваги; б) Коливання дифузора гучномовця під час роботи приймача.

А. Тільки а) Б. а) і б) У. Тільки б) Г. Ні а), ні б)

9. Вантаж підвішений на нитці і відхилений від положення рівноваги так, що його висота над землею збільшилася на 20 см. Приблизно з якою швидкістю тіло буде проходити положення рівноваги при вільних коливаннях?

А. 1 м/с Б. 2 м/с В. 4 м/с Г. 20 м/с.

10. При вільних коливаннях вантажу на пружині максимальне значення його потенціальної енергії 10 Дж, максимальне значення кінетичної енергії 10 Дж. У яких межах змінюється повна механічна енергія вантажу і пружини?

А. Змінюється від 0 до 10 Дж Б. Змінюється від 0 до 20 Дж

В. Не змінюється і дорівнює 10 Дж Г. Не змінюється і дорівнює 20 Дж

Задачі для самостійного розв’язку.

1. Написати рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою 5 см, якщо за 1 хв здійснюється 150 коливань і початкова фаза коливань рівна 45°.

2. Написати рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою 0,1 см, періодом 4 с і початковою фазою рівною нулю.

3. Амплітуда гармонічних коливань 50 мм, період 4 с, а початкова фаза π/4. Знайти зміщення точки при t = 0 і t = 1,5 с. (Відповідь: 35,2 мм; 0)

4. Через який проміжок часу від початку руху точка, що здійснює гармонічні коливання, зміститься від положення рівноваги на половину амплітуди ? Період коливань 24 с, початкова фаза рівна нулю. (Відповідь: 2 с)

5. Початкова фаза гармонічних коливань рівна нулю. Через яку частинку періоду швидкість точки буде рівна половині її максимальної швидкості ? . (Відповідь: 1/6)

6. За який проміжок часу від початку руху точка, що здійснює коливальний рух за рівнянням х = 7sin0,5πt, проходить шлях від положення рівноваги до максимального зміщення ? . (Відповідь: 1 с)

7. Амплітуда гармонічного коливання 5 см, період 4 с. Визначити максимальну швидкість і максимальне прискорення. . (Відповідь: 7,85 см/с; 12,3 см/с )

8. Рівняння руху точки . Визначити моменти часу, в які досягають максимального значення швидкість і прискорення. (Відповідь: 0, 6, 12 с; 3, 9, 15 с)

9. Рівняння руху точки дано у вигляді см. Визначити : 1) період ; 2) максимальну швидкість ; 3) максимальне прискорення. (Відповідь: 4 с; 3,14 см/с; 4,93 см/с )

10. Точка здійснює гармонічні коливання. Період коливання 2 с, амплітуда 50 мм, початкова фаза рівна нулю. Визначити швидкість точки в той момент, коли зміщення від положення рівноваги 25 мм. (Відповідь: 13,6 см/с)

11. Написати рівняння гармонічного коливального руху, якщо максимальне прискорення точки 49,4 см/с², період коливань 2 с, а зміщення точки від положення рівноваги в початковий момент 25 мм.

12. Початкова фаза гармонічного коливання рівна нулю. При зміщенні точки від положення рівноваги 2,4 см її швидкість 3 см/с, а при зміщенні 2,8 см швидкість 2 см/с. Визначити амплітуду і період цього коливання. (Відповідь: 3,1 см; 4,1 с)

13. Визначити відношення кінетичної енергії точки, що коливається, до її потенціальної енергії для моментів часу: 1) T/12, 2) T/8, 3) T/6. Початкова фаза коливань рівна нулю. (Відповідь: 3, 1, 1/3)

14. На яку частину довжини потрібно зменшити довжину математичного маятника, щоб період коливань його на висоті 10 км був рівний періоду коливань на поверхні Землі ? (Відповідь: 0,003)

15. Визначити на скільки відстане маятниковий годинник за добу, якщо його підняти на висоту 5 км над поверхнею Землі. (Відповідь: 67,5 с)

16. Визначити період коливань математичного маятника довжиною L, підвішеного в вагоні, що рухається горизонтально з прискоренням а.

17. Визначити частоту гармонічного коливання, якщо відомі амплітуди зміщення і швидкості.

18. Визначити частоту гармонічного коливання і амплітуду зміщення, якщо відомі амплітуда швидкості і амплітуда прискорення.

19. Визначити відношення кінетичної енергії точки, що здійснює гармонічні коливання, до її потенціальної енергії, якщо зміщення точки від положення рівноваги складає: 1) х = А/4, 2) х=А/2, 3) х = А, де А – амплітуда коливань. (Відповідь: 15, 3, 0)

20. Повна енергія тіла, що здійснює гармонічні коливання, рівна 3 10ˉ Дж, максимальна сила, що діє на тіло 1,5 мН. Написати рівняння руху цього тіла, якщо період коливань 2 с, а початкова фаза 60˚.

21. Амплітуда гармонічних коливань матеріальної точки 2 см, повна енергія

0,3 мкДж. При якому зміщенні від положення рівноваги на точку діє сила 22,5 мН ? (Відповідь: 1,5 см)

22. До пружини прикріплено вантаж масою 10 кг. Знаючи, що пружина під дією сили 1 Н розтягується на 1,5 см, визначити період вертикальних коливань. (Відповідь: 0,78 с)

23. До пружини прикріплено вантаж. Знаючи, що максимальна кінетична енергія коливань вантажу 1Дж, визначити коефіцієнт пружності пружини. Амплітуда коливань 5 см. (Відповідь: 805 Н/м)

24. Мідна кулька, підвішена на пружині, здійснює вертикальні коливання. Як зміниться період коливань, якщо до пружини підвісили замість мідної кульки алюмінієву такого ж радіуса ?

25. До пружини підвішено шальку вагів з гирями. При цьому період вертикальних коливань 0,5 с. Після того як на шальку поклали ще додаткові гирі, період вертикальних коливань став 0,6 с. На скільки видовжилась пружина від додаткових гир ? (Відповідь:

2,7 см)

26. Написати рівняння руху, отриманого в результаті додавання двох однаково направлених гармонічних коливань з однаковим періодом 8 с і однаковою амплітудою 2 см. Різниця фаз цих коливань π /4. Початкова фаза одного з коливань рівна нулю.

27. Визначити амплітуду і початкову фазу гармонічного коливання, отриманого від додавання однаково направлених коливань, даних рівняннями х = 0,02sin(5πt + π/2) і х =0,03sin (5πt + π/4). (Відповідь: 4,6 см; 62 )

28. В результаті додавання двох однаково направлених гармонічних коливань з однаковими амплітудами і однаковими періодами отримують результуюче коливання з тим же періодом і частотою. Визначити різницю фаз коливань доданків. (Відповідь: 2 /3)

29. 1) Визначити амплітуду і початкову фазу гармонічного коливання, отриманого від додавання однаково направлених коливань, даних рівняннями: х = 4sin πt см, х = 3 sin (πt + π/2) см. 2) Написати рівняння результуючого коливання. 3) Дати векторну діаграму додавання амплітуд. (Відповідь: 5 см; 0,2 )

30. Період затухаючих коливань 4 с, логарифмічний декремент затухання 1,6, початкова фаза – нуль. Зміщення точки при t = T/4 – 4,5 см. Написати рівняння руху цього коливання.

31. Рівняння затухаючих коливань дано у вигляді х = 5е sin t м. Визначити швидкість точки в моменти часу: 0, T, 2T, 3T і 4Т. (Відповідь: 7,8 м/с; 2,88 м/с; 1,06 м/с;

0,39 м/с; 0,14 м/с)\

32. Логарифмічний декремент затухання математичного маятника 0,2. Визначити, у скільки разів зменшиться амплітуда коливань за одне повне коливання маятника. (Відповідь: 1,22)

33. Визначити логарифмічний декремент затухання математичного маятника, якщо за 1хв амплітуда коливань зменшилась в 2 рази. Довжина маятника 1 м. (Відповідь: 0,023)

34. Математичний маятник довжиною 24,7 см здійснює затухаючі коливання. Через який проміжок часу енергія коливань маятника зменшиться в 94 рази ? Логарифмічний декремент затухання : 1) 0,01, 2) 1. (Відповідь: 120 с; 1,22 с)

35. Амплітуда затухаючих коливань математичного маятника за 1 хв. зменшилось вдвічі. У скільки разів вона зменшилась за 3 хв. ? (Відповідь: 8)

36. Математичний маятник довжиною 0,5 м, виведений з положення рівноваги, відхилиться при першому коливанні на 5 см, а при другому (в той же бік) – на 4 см. Визначити час релаксації. (Відповідь: 6,4 с)

37. За 10 с амплітуда коливань зменшилась у 10 разів. За який проміжок часу вона зменшиться в 100 разів. (Відповідь: 20 с)

38. За 16,1 с амплітуда коливань зменшилась в 5 разів. Визначити коефіцієнт затухання і час релаксації. (Відповідь: 0,1 с ; 10 с)

39. За час релаксації рівний 100 с система здійснює 100 коливань. Визначити коефіцієнт затухання, логарифмічний декремент затухання, добротність системи. (Відповідь: 10 ; 10 ; 314; 2 )

40. За час, протягом якого система здійснює 100 коливань, амплітуда зменшується в 5 разів. Визначити добротність системи. (Відповідь: 195)

41. Добротність коливальної системи 2, а частота вільних коливань 100 Гц. Визначити власну частоту коливань системи. (Відповідь: 103 с )

42. Частота вільних коливань системи 100 Гц, резонансна частота 99 Гц. Визначити добротність системи. (Відповідь: 4)

43. Осцилятор з часом релаксації 20 с в момент t = 0 має початкове зміщення 10 см. При якому значенні початкової швидкості це зміщення буде рівне амплітуді ?(Відповідь:-0,5 см/с)

44. Точка здійснює затухаючі коливання з частотою 25 сˉ¹. Визначити коефіцієнти затухання, якщо в початковий момент швидкість точки рівна нулю, а зміщення від положення рівноваги в 1,02 рази менше амплітуди. (Відповідь: 5 с )

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ: розв’язати задачі.

1 Визначите період гармонічних коливань математичного маятника, що робить одне повне коливання за 2 с, якщо прискорення вільного падіння становить 9,81 м/с². У скільки разів потрібно змінити довжину маятника, щоб частота його коливань збільшилася в 2 рази?

2 У скільки разів період коливань математичного маятника на Місяці відрізняється від періоду коливань того ж маятника на Землі (прискорення вільного падіння на Місяці в 6 разів менше, ніж на Землі)?

3 Вантаж масою m коливається на пружині твердістю k з амплітудою А. Знайдіть: 1) повну механічну енергію Е; 2) швидкість проходження точкою А.

ВИКЛАДАЧ – Марінець І.С.