67. Похідна суми, частки, добутку функцій.

Теорема 1: Похідна суми двох або більше диференційованих функцій дорівнює відповідній сумі похідних цих функцій:

y  u(x)  v(x)  w(x) _; y' u'(x)  v'(x)  w'(x)

Доведення: Для значень аргументу x : y  u  v  w (аргумент x в позначенні функції опускаємо для зручності запису). Для значення аргументу x x маємо:

		y y  (u u)  (v v)  (w w) ,
де y , u , v і w - прирости функцій y , u ,			v і w , які відповідають приросту
x	аргументу	x . Звідси, y u v w , y 	u	 v 	w	,
		x	x	x	x

y'  lim	y  lim		u  lim		v  lim		w або y' u'(x)  v'(x)  w'(x)
x0	x	x0	x	x0	x	x0	x

Що і треба було довести.

_{Наслідок:} y  u(x)  v(x)  w(x)  u(x)  (v(x))  (w(x)) _; y' u'(x)  (v'(x))  (w'(x))  u'(x)  v'(x)  w'(x)

Теорема 2: Похідна від добутку двох диференційованих функцій дорівнює добутку похідної першої функції на другу функцію плюс добутку першої функції на похідну від другої функції,

тобто якщо y  u v , то y' u'v  u  v'

Доведення: Міркуючи, як і при доведенні попередньої теореми, отримуємо:

y  u v , y y  (u u)  (v v) , y  (u u)  (v v)  u  v u  v  u v u v ,

y  u  v  u  v u  v ,

y'  lim

y  lim

u

 v  lim u  v  lim u  v 

x x

x

x

x0

x

x0

x

x0

x

x0

x

 ( lim u ) v  u ( lim

v )  lim u  lim v

(так як u

і v не залежать від x ).

x0

x

x0

x

x0

x0

x

Розглянемо

останній

член в правій частині

lim u  lim v

. Так як u(x) -

x0

x0

x

диференційована функція, то вона неперервна. Звідси, lim u  0 . Крім, того

x0

lim ^v  v' . Таким чином, розглядуваний член дорівнює нулю і отримємо:

x0 _x

y' u'v  u  v' . Теорема доведена.

На основі доведеної теореми легко отримується правило диференціювання добутку будь-якого числа функцій.

Теорема 3: Похідна частки від двох диференційованих функцій дорівнює дробу, у якій знаменник є квадрат знаменника даного дробу, а чисельник є різниця між добутком знаменника на похідну чисельника і добутком чисельника на похідну

знаменника, тобто якщо y 

u

y'

u'v  u  v'

v , то

v2

.

Доведення: Якщо y , u і v є приростами функцій

y , u

і v , які відповідають

приросту x аргументу x , то

y y 

u u

, y 

u u



u



v u  u v

,

v v

v v v

v  (v v)

			v u  u v		u  v  u  v
y
			x			x	x	, y'
x			v  (v v)			v  (v v)

Звідси, помічаємо, що v  0 при

y

u  v  u  v

v  lim

u

 u  lim

v

 lim

 lim

x

x



x0

x

x0

x

.

x

v  (v v)

v  lim (v v)

x0

x0

x0

x  0 , отримуємо y'

u'v  u  v'

.

v

2

Теорема доведена.

69

Похідна складеної функції (Chain Rule)

Нехай функція визначена в деякому околі точки і функція визначена в деякому околі точки , таким чином визначена складена функція .

Теорема 3.3. Якщо функція має похідну в точці і функція має похідну в точці , то складена функція також має похідну в точці , причому

, (3.6)

або скорочено

(3.6*)

Доведення. За означенням маємо:

.

68

Похідна оберненої функції (derivative of inverse function)

Теорема 3.4. Якщо функція , , має обернену і для всіх існує похідна , то для всіх існує похідна , причому справедлива рівність:

або , . (3.7)

Доведення. З означення похідної маємо:

, тобто , .