Методы интегрирования Интегрирование подстановкой

Этот способ интегрирования применяется в случаях, когда преобразования подынтегральной функции с помощью свойств неопределенного интеграла или путем разбиения ее на отдельные слагаемые не приводят к табличным формулам, но такие формулы можно получить в результате перехода к новой переменной.

В общем виде операция подстановки или замены переменной состоит в следующем: пусть заданный интеграл не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Введем новую переменную зависимостью , где дифференцируемая функция от . Тогда и , а все подынтегральное выражение .

При удачном выборе замены интеграл может быть приведен к одному из табличных, и тогда удается найти первообразную .

Затем выполняется обратная замена переменной на , первообразная функция от преобразовывается в функцию .

Интегрирование по частям

Пусть и - дифференцируемые функции от . Тогда, как известно,

откуда следует

Интегрирование обеих частей этого равенства дает

Так как , то получим

Это – формула интегрирования по частям, позволяющая переходить от заданного интеграла к интегралу ; последний при удачном разбиении подынтегрального выражения на и может оказаться более простым, чем первоначальный.

Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Эта формула часто применяется, когда подынтегральной функцией является логарифмическая или обратная тригонометрическая; произведение каждой из этих функций на алгебраическую; произведение, содержащее алгебраические, тригонометрические, показательные функции, и в некоторых других случаях.

Для интегралов вида за принимается подынтегральная функция, а .

Когда интегрирование по частям применяется к подынтегральной функции, имеющей вид произведения, то выбор множителей и должен соответствовать цели перехода к интегралу , более простому, чем заданный интеграл , причем множитель , всегда включающий , должен быть легко интегрируемым. Это достигается, например, тем, что для интегралов вида за принимается многочлен , а для интегралов вида за принимается .