§ 9. Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока

Объемные плотности заряда и тока для случаев типа распределения зарядов по поверхности, линии и других ограниченных областей записываются в виде скалярной и векторной функций, определенных во всем трехмерном пространстве. Свойства дельта-функции и ступенчатой функции и их применение даны в задачнике [1]. Желательно прорешать задачи 80,81,88 и проработать приложения о свойствах указанных обобщенных функций в [1].

Разберем подробно решения двух задач из [1].

149 г): В плоскости ху по бесконечно тонкому кольцу радиуса R течет линейный ток J, образуя правовинтовую систему с осью z, которая проходит через центр кольца. Используя дельта-функцию Дирака определить распределение объемной плотности тока .

Рис.10

Решение: Некоторое значение азимутального угла определяет плоскость . Согласно определению понятия силы тока имеем нормировочное условие для искомой объемной плотности тока:

(9.1)

Плотность тока отлична от нуля при следующих значениях цилиндрических координат:

(9.2)

Поэтому вектор объемной плотности тока нужно искать в виде:

(9.3)

А - нормировочный множитель.

В силу того, что

(9.4)

получаем

(9.5)

Задача решена.

149 д): Найти , если равномерно заряженная с поверхностной плотностью поверхность кругового конуса с вершиной в начале координат вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью , направленной вдоль оси z.

Решение: Известно, что

(9.6)

(9.7)

Поэтому сначала найдем распределение объемной плотности заряда . Очевидно, что в сферической системе координат

(9.8)

Следовательно,

(9.9)

Нормировочный множитель А найдем из условия:

(9.10)

Вычислив объемный интеграл в этой формуле по всему трехмерному пространству получим, что

(9.11)

Найдем результат векторного произведения (9.7) в сферической системе координат.

Рис.11

Пусть

(*)

тогда

(**)

Легко видеть, что

(9.12)

(9.13)

В силу взаимной ортогональности базисных ортов сферической системы координат для них имеет место следующая таблица векторных произведений:

(9.14)

Следовательно,

(9.15)

(9.16)

Задача решена.

§ 10. Закон Био-Савара

Распределения объемных плотностей тока, типа полученных выше формул, позволяют сводить к квадратурам задачу об определении компонент вектора напряженности магнитного поля на основе закона Био-Савара:

(10.1)

Найти напряженность магнитного поля в вакууме, создаваемое током, силы I, текущим по прямому тонкому проводу бесконечной длины.

Решение:Ось z цилиндрической системы координат совместим с проводом.

Рис.12

Используя нормировочное условие

(10.2)

и очевидное соотношение

(10.3)

найдем, что

(10.4)

Рассмотрим точку Р с координатами . Вычислим , создаваемое участком .

Предельный переход даст поле бесконечного провода, которое обладает осевой симметрией относительно вращений (вокруг оси z) и трансляционной симметрией для сдвигов по оси z.

Рис.13

Радиус-вектор положения элемента объема в интеграле (10.1) пробегает все трехмерное пространство:

(10.5)

Точка наблюдения Р определяется радиус-вектором:

(10.6)

Отсюда следует, что

(10.7)

(10.8)

Таблица векторных произведений базисных ортов цилиндрической системы координат имеет вид:

(10.9)

Следовательно,

(10.10)

Подставим все полученные результаты в формулу (10.1) и получаем

(*)

Учтем, что

Окончательно, имеем

(10.11)

(10.12)

Задача решена.