42. Преобразование Фурье.

Преобразование Фурье — преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Более точно, преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию на базисные функции, в качестве которых выступают синусоидальные функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид различной частоты, амплитуды и фазы. Преобразование названо по имени Жана Фурье.

Непрерывное преобразование Фурье 

Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию   как сумму (интеграл Фурье)комплексных показательных функций с угловыми частотами   и комплексными амплитудами  . Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

,

,

,

где  .

В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение).

См. непрерывное преобразование Фурье для дополнительной информации, включая таблицу преобразований, обсуждение свойств преобразования и разнообразные соглашения. Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».

Ряды Фурье 

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области   (с периодом  ), и представляют эти функции как ряды синусоид:

,

где   — комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:

,

где   и   — (действительные) амплитуды ряда Фурье.

Дискретное преобразование Фурье 

Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции  , которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет   как сумму синусоид:

,

где   — амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует   операций, этот расчет может быть сделан за   операций используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.

Оконное преобразование Фурье 

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию:

где   даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала   в окрестности времени  .

43. Ряд Фурье в комплексной форме.

Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера

можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:

Мы использовали здесь следующие обозначения:

Коэффициенты cn называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами

Если нужно построить продолжение функции f (x), имеюшей произвольный период 2L, то соответствующее выражение в комплексной форме имеет вид:

где

44. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения и понятия.

Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

;

(1)

(все три переменные x, y, F - действительны). Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала). Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка. Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Так, функция y(x) = ex + x обращает уравнение : y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ex; ex –(ex +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная. Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

;

(2)

что: 1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1); 2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

;

(3)

и получать общее решение в форме

;

(4)

решённой относительно неизвестной функции.