Билет 17 системы счисления, позиционные и непозиционные

Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют системы позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число.

Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание можно принять любое натуральное число – два, три, четыре, шестнадцать и т. д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Билет 18 основание систем счисления и алфавит

Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание можно принять любое натуральное число – два, три, четыре, шестнадцать и т. д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Десятичная система счисления. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двоичная система счисления. В этой системе всего две цифры – 0 и 1.

Восьмеричная система счисления. В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Шестнадцатеричная система счисления. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F.

Билет 19 развернутая и свернутая формулы записи числа

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в развернутом и свернутом виде:

Aq = ±(an–1×qn–1 + an–2×qn–2 +…+ a0×q0 + a–1×q–1 + a–2×q–2 +…+ a–m×q–m),

Здесь А — само число; q — основание системы счисления;

аi — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; п — количество целых разрядов числа; т — количество дробных разрядов числа.

Пример 3.Пятеричное число А5 = 2430,21 по формуле (1) запишется так:

А5 = 2 × 5³ + 4 × 52 + 3 × 5' + 0 × 5° + 2 × 5^–1 + 1 × 5^–2.

Вычислив это выражение, можно получить десятичный эквивалент указанного пятеричного числа: 365,44₁₀.

Билет 20 алгоритм перевода из любой системы счисления в десятичную

Развернутая запись форэвэ

Билет 21 алгоритм перевода чисел из десятичной системы в любую

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную используют тот же "алгоритм замещения", что и при переводе из десятичной системы счисления в двоичную и восьмеричную, только в качестве делителя используют 16, основание шестнадцатеричной системы счисления:

Делим десятичное число А на 16. Частное Q запоминаем для следующего шага, а остаток a записываем как младший бит шестнадцатеричного числа.

Если частное q не равно 0, принимаем его за новое делимое и повторяем процедуру, описанную в шаге 1. Каждый новый остаток записывается в разряды шестнадцатеричного числа в направлении от младшего бита к старшему.

Алгоритм продолжается до тех пор, пока в результате выполнения шагов 1 и 2 не получится частное Q = 0 и остаток a меньше 16.

Например, требуется перевести десятичное число 32767 в шестнадцатеричное. В соответствии с приведенным алгоритмом получим: 32767₁₀ : 16 = 2047₁₀

32767₁₀ - 32752₁₀ = 15, остаток 15 в виде F записываем в МБ шестнадцатеричного числа.

2047₁₀ : 16 = 127₁₀

2047₁₀ - 2032₁₀ = 15, остаток 15 в виде F записываем в следующий после МБ разряд шестнадцатеричного числа.

127₁₀ : 16 = 7₁₀

127₁₀ - 112₁₀ = 15, остаток 15 в виде F записываем в старший разряд шестнадцатеричного числа.

7₁₀ : 16 = 0₁₀, остаток 7 записываем в старший разряд шестнадцатеричного числа.

Таким образом, искомое шестнадцатеричное число равно 7FFF₁₆.