14. Дифференциалы сложных функций. Свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка.

15. Дифференциалы высших порядков. Нарушение свойства инвариантности формы записи дифференциалов высших порядков.

16. Теорема Ферма. Геометрический смысл. Замечания о существенности условий теоремы Ферма и о ее локальном применении.

Теорема Ферма.  Если функция у = f (х),  определенная в интервале (а ; b), достигает в  некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует  производная f ′(с), то f ′(с) = 0.  

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.).    Теорема Ролля. Если функция у = f (х),  непрерывная на отрезке [а ; b] и  дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.  Геометрически эта теорема означает  следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).    Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и  дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что   

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х)  между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ.   

Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.  

Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [а ; b];  

2)  дифференцируемы в интервале (а ; b);  

3) g'(x) ≠ 0 в этом  интервале,  то в интервале (а ; b) существует  такая точка с, что имеет место равенство   

17. Формула Тейлора для многочленов. Единственность разложения многочлена по формуле Тейлора. Примеры. Формула Тейлора (Маклорена) для произвольной функции. Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестностинекоторой точки.

Теорема:

Пусть функция   имеет   производную в некоторой окрестности точки  ,  Пусть  Пусть   — произвольное положительное число, тогда:   точка   при   или   при  :

18. Различные представления остаточного члена формулы Тейлора (без вывода). Оценка остаточного члена формулы Тейлора (Маклорена). Основные разложения элементарных функций (e^x, sin x, cos x, ln (1 + x), (1 + x)^) по формуле Маклорена. Примеры.

Экспонента: 

Натуральный логарифм: 

 для всех 

Биномиальное разложение:   для всех   и всех

комплексных   где 

: 

22.Правило Лопиталля раскрытия неопределенности типа в конечной и бесконечной точке. Замечания к теореме: о многократном применении правила Лопиталя, о необратимости теоремы. Примеры. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности типа в конечной и бесконечной точке. Примеры.

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя^[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида   и  . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Если:

1.  или  ;

2.  и   дифференцируемы в окрестности  ;

3.  в окрестности  ;

4. существует  ,

то существует  .

Пределы также могут быть односторонними.