6. Метод авторегресії

Це ще один корисний для прогнозування за допомогою часових рядів метод, який базується на авторегресійних моделях. Зазвичай виявляється, що значення відгуку в деякій точці часового ряду сильно корелює з кількома попередніми і/чи наступними значеннями. Дійсно, для багатьох явищ їхній сучасний стан функціонально визначається попередніми станами системи, в більшій мірі недавніми і в набагато меншій – далеко віддаленими від заданого на часовому ряді. Подібні зв'язки прийнято називати автокореляцією – кореляцією ряду із самим собою.

Автокореляція першого порядку характеризує тісноту зв'язку між сусідніми значеннями часового ряду, автокореляція другого порядку – між віддаленими один від одного на два періоди і т.д. Загалом, автокореляція n-ого порядку відноситься до ступеня зв'язаності відгуків, рознесених на n періодів. Припускаючи, що існуючий зв'язок між значеннями збережеться якийсь час у майбутньому, ми одержуємо механізм прогнозування, заснований на побудові регресії точок ряду на самих собі, тобто – авторегресії.

Алгоритм розрахунків. Авторегресійні моделі різних порядків – першого, другого, у загальному випадку n-ого – можна описати рівняннями наступного вигляду:

Y_i = b₀ + b₁*Y_i-1 + ε ;

Y_i = b₀ + b₁*Y_i-1 + b₂*Y_i-2 + ε ;

Y_i = b₀ + b₁*Y_i-1 + b₂*Y_i-2 +... + b_n*Y_i-n + ε ,

де b₀ – константа (вільний член) авторегресійного рівняння, b₁, b₂,... b_n – коефі­цієнти авторегресії, Y_i – величина відгуку в деякий момент часу, Y_i–1, Y_i–2,...Y_i–n – відповідно відгуки одним, двома, ... n періодами раніше заданого, ε – нескорельована випадкова компонента, присутня у відгуку і пов'язана з похибками спостережень і похибками моделі.

7. Вибір адекватної моделі прогнозування

Ще одним завданням дослідника є обґрунтування вибору тієї чи іншої моделі прогнозу. Ми розглянули основні методи моделювання процесів, описуваних часовими рядами – три види регресії, метод Хольта-Вінтерса і метод авторегресії. Проте одне питання все ще вимагає відповіді – яка з цих моделей є кращою, чи, іншими словами, яку з моделей варто вибрати, якщо нашою метою є прогнозування за часовим рядом. На це питання немає однозначної відповіді, оскільки перевірити якість прогнозу можна буде тільки в майбутньому, порівнявши прогнозоване значення з реальністю. Варто очікувати, що модель, яка добре описує існуючі дані, буде також добре прогнозувати.

Основними прийомами при оцінці якості моделі, її адекватності описуваним процесам, може стати аналіз залишків, визначення величини нескомпенсованих залишкових похибок і застосування принципу простоти моделі.

Аналіз залишків. Побудувавши модель будь-якого вигляду, ми можемо одержати розрахункові величини відгуку для кожної точки часового ряду і порівняти їх з тими, що спостерігаються. Нев'язка в кожній точці ряду визначаються співвідношенням вигляду

e_i = Y_i – Ŷ_i,

де Ŷ_i позначає розраховане за моделлю значення відгуку. Для якісного порівняння моделей звичайно будують графіки залежності e від X за всім періодом спостережень для кожної з моделей. Якщо модель не має систематичних дефектів, то нев'язка повинна бути випадково розкидана щодо рівняння моделі, не демонструючи систематичного шаблону (систематичної похибки), оскільки в нев'язках закладена похибка вибору моделі і нерегулярна компонента процесу. Якщо ж у моделі є дефект, то випадковість розподілу нев'язок поступається місцем деякій системі, аналіз якої іноді дозволяє знайти шляхи поліпшення моделі.

Статистичні характеристики моделей. Наступним кроком при виборі однієї моделі з кількох альтернативних буде аналіз статистичних характеристик моделей. Мірою якості моделі є залишкова сума квадратів або загальна нев'язка моделі, мінімізацією якої й одержують оцінки параметрів. При застосуванні методів регресії та авторегресії надійним показником якості є дисперсія адекватності моделей, яка визначається з умови

де f – число степенів свободи моделі, яка виводиться як одна зі статистичних характеристик. Далі дисперсії можна порівняти за критерієм Фішера для попередньо заданої довірчої імовірності, і в такий спосіб вибрати кращу модель.

Метод абсолютних відхилень. Можна оцінювати якість моделі безпосередньо за залишковою сумою квадратів, вибираючи модель з мінімальною залишковою сумою, однак цей прийом часто змушує дослідника відкинути хорошу модель, але яка має велике розходження між спостереженням і розрахунком буквально в одній-двох точках часового ряду, наприклад, через піднесення до квадрата. Саме з цієї причини більшість дослідників воліє використовувати при оцінці прогнозних функцій іншу міру – середнє абсолютне відхилення (MAD – mean absolute deviation):

У чисельнику цього виразу записано модуль різниці між значенням, яке спостерігається, і розрахованим за моделлю значенням в будь-якій точці часового ряду, а потім усі ці величини усереднюються. Зрозуміло, що для моделі, яка ідеально описує весь ряд, величина MAD дорівнюватиме нулю, а для поганої моделі прийматиме великі значення. Таким чином, порівнюючи достоїнства моделей за MAD-критерієм, варто вибрати ту модель, яка дає мінімальне значення MAD.

Принцип простоти моделі. Якщо ж ми маємо випадок, коли дві або більше моделей близькі за якістю, про що свідчать оцінки з допомогою статистичних критеріїв або критерію MAD, то в дію вступає принцип простоти, чи економії (в англомовній літературі він відомий як Principle of Parsimony і деякі вітчизняні автори його "перекладають" як "принцип Парсімони", припускаючи, що за таким милозвучним словом стоїть прізвище автора цього методу). Принцип простоти передбачає, що з двох або більше практично еквівалентних моделей для розрахунків прогнозів варто вибирати найпростішу. Серед розглянутих нами моделей найпростішою є лінійна регресійна модель, дещо складніша – квадратична й авторегресійна другого порядку, найскладнішою є експоненційна модель і модель Хольта-Вінтерса; саме так їх звичайно ранжують економісти.

ЗАВДАННЯ: опрацювати питання та законспектувати їх у зошит.