4. Дробово-лінійна функція. Рівняння Міхаеліса—Ментен

Обернено пропорциональна залежність є окремим випадком дробово-лінійної функції, яка має такий вигляд:

(4.1)

де а, b, с і d — постійні величини (параметри). Оскільки знаменник не може бути нулем, то функція у визначається для всіх значень х, крім точки х = - . При с = 0 дана функція перетворюється на лінійну:

(4.2)

Після приведення до спільного знаменника правої частини функції (3.6) вона матиме вигляд (4.1). Функцію (4.1) можна також записати у формі (3.6). Для цього потрібно розділити чисельник правої частини (4.1) на знаменник (відділити цілу частину), а саме:

(4.3)

Порівнюючи одержаний вираз з правою частиною функції (3.6), бачимо, що дробово-раціональна функція виражає обернено пропорціональну залежність між величинами сх + d і у – а/с, а її графіком є гіпербола, яка зміщена відносно осі Оу на величину – d/с і відносно осі Ох — на величину — а/с.

Рівняння Міхаеліса—Ментен

У біології відомо, що між кількістю їжі і швидкістю її споживання мікроорганізмами існує тісна залежність, яка може бути виражена дробово-раціональною функцією. Так, вивчаючи розмноження мікроорганізмів на різних поживних речовинах (субстратах), французький мікробіолог Ж. Моно показав, що в багатьох випадках залежність швидкості V поїдання субстрату мікроорганізмами від концентрації S субстрату можна описати рівнянням Міхаеліса—Ментен:

(4.4)

де V_max — максимальна швидкість поїдання (поглинання) субстрату, К_т — постійна, яка називається константою Міхаеліса. Константа К_т дорівнює такій концентрації субстрату, за якої швидкість поглинання субстрату досягає половини максимальної швидкості, тобто коли V = v = 0,5V_max Дійсно, поклавши у формулі (4.4) S = К_т, одержимо:

Графіком функції (4.4) є гіпербола, яку називають гіперболою Міхаеліса (рис. 2.4).

Рис. 4. Гіпербола Міхаеліса

Коли кількість (концентрація) субстрату необмежено зростає (S → ∞), швидкість поглинання прямує до сталої величини V = V_max, тобто точки гіперболи наближаються до прямої V = V_max (на рис. 2.4 це — горизонтальна пунктирна пряма). Така пряма, до якої зменшується відстань від точок кривої, що простягається в нескінченність, називається асимптотою кривої, або асимптотою графіка даної функції. Отже, пряма V = V_max є асимптота гіперболи Міхаеліса.

5. Степенева функція

Степеневу функцію визначають рівнянням

(5.1)

де а — будь-яке стале число (параметр), α — раціональне число (показник степеня). Якщо а > 0 і α — парне і додатне число, то графіком функції (5.1) є парабола з вершиною в початку координат, симетрична відносно осі Оу, причому вітки параболи спрямовані угору (рис. 6). При а = 2 параболу називають квадратичною, при а = 4 — параболою четвертого степеня і т. д. При а < 0 і α — парному і додатному числі вітки параболи будуть спрямовані вниз (пунктирні лінії на рис. 5, а). Якщо а > 0, а α — непарне і додатне число, то графіком функції буде парабола, що проходить через початок координат і симетрична відносно початку координат, причому права вітка спрямована угору, а ліва — вниз (рис. 5, б). Якщо а < 0 і α — непарне і додатне число, то права вітка спрямована вниз, а ліва — угору (пунктирні лінії на рис. 5, б). При α = 3 парабола називається кубічною, при α = 5 — параболою п'ятого степеня і т. д.

Рис. 5. Графіки степеневої функції:

а) парабола квадратична; б) парабола кубічна

Характерним для графіків усіх парабол є те, що їх вітки, які відповідають більшим значенням показника α, лежать ближче до осі Ох (рис. 5).

Якщо α = т/n дробове число, то функція (5.1) матиме вигляд:

(5.2)

а її графіки для різних значень т i n відрізнятимуться від кривих, зображених на рис. 5.

При α = -1 з рівняння (5.1) можна одержати обернено пропорціональну функціональну залежність у вигляді (3.5), графіком якої є рівностороння гіпербола (рис. 3, а), а якщо α < -1, то графік відповідної функції називається степеневою гіперболою.