Функциональная полнота

Теорема (о функциональной полноте). Для любой булевой функции f найдется формула φ, представляющая функцию f. Если f ≠ 0, то существует представляющая ее формула φ, находящаяся в СДНФ:

и такое представление единственно с точностью до порядка следования конституент единицы. Если f ≠ 1, то существует приставляющая ее формула φ, находящаяся в СКНФ:

,

и такое представление единственно с точностью до порядка следования конституент нуля.

Пример. Найти СДНФ и СКНФ функции f(x,y,z), заданной следующей таблицей истинности:

х	0	0	0	0	1	1	1	1
y	0	0	1	1	0	0	1	1
z	0	1	0	1	0	1	0	1
f(x,y,z)	1	0	0	1	0	1	0	1

По теореме о функциональной полноте СДНФ имеет вид , а СКНФ — . Для нахождения СДНФ и СКНФ исходной формулы φ составляется ее таблица истинности, а затем по ней строится требуемая совершенная нормальная форма. По СДНФ φ₁ для функции f, можно составить ее таблицу истинности и по ней найти СКНФ φ₂.

Описанный способ нахождения СДНФ и СКНФ по таблице истинности бывает часто более трудоемким, чем следующий алгоритм.

Алгоритм. Для нахождения СДНФ данную формулу нужно привести сначала к ДНФ, а затем преобразовать ее конъюнкты в конституенты единицы с помощью следующих действий:

а) если в конъюнкт входит некоторая переменная вместе со своим отрицанием, то нужно удалить этот конъюнкт из ДНФ;

б) если в конъюнкт одна и та же литера х^δ входит несколько раз, то удалить все литеры х^δ, кроме одной;

в) если в некоторый конъюнкт не входит переменная y, то этот конъюнкт заменить на эквивалентную формулу применяя закон дистрибутивности, привести полученную формулу к ДНФ; если недостающих переменных несколько, то для каждой из них к конъюнкту добавляется соответствующую формулу вида ;

г) если в полученной ДНФ имеется несколько одинаковых конституент единицы, то оставить только одну из них. В результате получается СДНФ.

Пример. Найдем СДНФ для ДНФ .

Решение. Имеем φ ~ ~

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~

~ .

Алгоритм приведения КНФ к СКНФ аналогичен вышеизложенному описанию алгоритма приведения ДНФ к СДНФ.

Двухэлементная булева алгебра.

Рассмотрим множество В_о = {0,1} и определим на нем операции , согласно таблицам истинности формул , , .

Тогда система B_о = является двухэлементной булевой алгеброй со всеми свойствами на операции. Формулы алгебры логики, содержащие лишь логические операции являются термами в B_о. Термом является любое функциональное выражение, составленное с помощью переменных и/или сигнатурных функциональных символов.

По теореме о функциональной полноте в булевой алгебре B_о с помощью терма можно задать любую булеву функцию.

Фактор-алгебра алгебры формул

Обозначим через Ф_n множество всех формул алгебры логики с переменными из множества {х₁, х₂, ... , х_n}.

На множестве Ф_n определены двухместные операции конъюнкции и дизъюнкции — : , : — и одноместная операция отрицания : .

Выделим на множестве Ф_n две константы и . Так получается алгебра формул F_n = .

Отношение ~ эквивалентности формул является конгруэнцией на алгебре F_n, и поэтому можно задать фактор-алгебру F_n/~.

На фактор-множестве Ф_n/~ операции , и определяются следующим образом:

~(φ) ~(ψ) = ~( φ ψ),

~(φ) ~(ψ) = ~( φ ψ),

~(φ) = ~( φ),.

На множестве Ф_n/~ выделяются две константы: 0 = ~( ) и 1 = ~( ). Полученная система является фактор-алгеброй F_n/~.

Теорема. Фактор-алгебра F_n/~ изоморфна алгебре булевых функций B_n

Доказательство.

Искомый изоморфизм ξ: F_n/~ → B_n определяется по следующему правилу: классу эквивалентности ~(φ) сопоставляется функция f_φ, имеющая таблицу истинности произвольной формулы из множества ~(φ). Поскольку разным классам эквивалентности соответствуют различные таблицы истинности, отображение ξ инъективно, а так как для любой булевой функции f из В_п найдется формула , представляющая функцию f, то отображение ξ сюръективно. Сохранение операций , 0, 1 при отображении ξ проверяется непосредственно. ЧТД.

По теореме о функциональной полноте каждой функции , не являющейся константой 0, соответствует некоторая СДНФ ψ, принадлежащая классу ~(φ) = ξ^-1(f) формул, представляющих функцию f. Возникает задача нахождения в классе ~(φ) дизъюнктивной нормальной формы, имеющей наиболее простое строение.