10. Движение тела с переменной массой. Формула Циолковского.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п. Такое движение называется движением с переменной массой.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т — dm, a скорость станет равной v + dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt

где и — скорость истечения газов относительно ракеты.

Тогда .

Если на систему действуют внешние силы, то поэтому или

Полагая F = 0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим , откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса , то С= . Следовательно,

Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты, тем больше должна быть стартовая масса ракеты; 2) чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

11. Динамика вращательного движения твердого тела. Основной закон. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

, где  – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Е сли к твердому телу массой m в точке А приложить силу  , то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение   и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила  ,…,  . Для каждой материальной точки можно записать:

, где  , поэтому  ,

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на r_i, получают

,   (1.8) где   – момент силы – это произведение силы   на ее плечо r_i.

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения “ОО” (рис. 5) до линии действия силы  .

 – момент инерции i-й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так: .                                                              (1.9)

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела: .

Обозначим   через М, а   через J, тогда        (1.10)

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина   – геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение  .   – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: “Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение”.

Мгновенное значение углового ускорения  , есть первая производная угловой скорости   по времени t , то есть ,  (1.11) где   – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени dt.

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

 или  ,  где   – импульс момента силы – это произведение момента силы М на промежуток времени dt .

 – изменение момента импульса тела,

 – момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость  , а   есть dL.

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы  , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса dL”:

 или   = dL.