Транспортная задача на сети
В соответствии с вариантом дана транспортная сеть с множеством поставщиков, множеством потребителей и множеством промежуточных вершин. Требуется найти оптимальное распределение транспортных потоков между поставщиками и потребителями на сети.
Решение
Составим начальный план, в котором весь груз должен быть отправлен и все потребности станций прибытия удовлетворены. Стрелками покажем направление грузопотоков, а числами – их мощность.
Оптимальный план перевозок одного груза на сети без ограничений пропускной способности всегда образует дерево с числом звеньев n-1, где n-число вершин.
Присвоим потенциалы вершинам. Присвоим вершине 1 достаточно большой потенциал, чтобы не иметь дело с отрицательными числами. Продвигаясь по дугам в направлении следования грузопотока, прибавляем к потенциалу предыдущей вершины величину стоимости звена, при движении против потока стоимость звена из потенциала вычитаем.
3) Проверяем условия оптимальности плана на всех дугах без потока.
4) Находим замкнутый контур, состоящий из дуг с потоком и выбранной дуги с нарушением. Продвигаясь по контуру в направлении от меньшего потенциала дуги с нарушением к большему, находим дугу с минимальным встречным потоком. Прибавляем их ко всем попутным потокам и вычитаем из всех встречных. Составляем улучшенный план перевозок.
5) Повторяем п. 2 – 4, пока при расчетах не обнаружится отсутствие нарушений (положительных сдвижек).
(-5)
(-7)
(-4)
4
7
3
9
2
5
4
3
2
8
(+11)
(-6)
(+13)
5
1
10
4
(-3)
6
8
15
5
3
6
7
4
9
(-9)
(+15)
(-5)
1-ая итерация
15
18
22
(-5)
(-4)
(-7)
4
3
4
7
3
9
2
5
8
8
4
3
2
8
(+11)
5
10
11
3
6
(+13)
5
1
10
4
(-3)
6
8
11
(-6)
15
5
6
5
3
6
7
4
9
(+15)
(-9)
(-5)
9
1
5
13
∆ 6 – 5 =5 – 9 – 13 = - 17
∆ 5 – 6 =13 – 9 – 5 = -1
∆ 5 – 4 =13 – 5 – 15 = - 7
∆ 4 – 5 =5 – 13 – 15 = - 23
∆ 4 – 3 =5 – 2 – 22 = - 19
∆ 3 – 4 =22 – 2 – 5 = 15
∆ 10 – 9 =6 – 3 – 15 = - 12
∆ 9 – 10 =15 – 3 – 6 = 6
2-ая итерация
30
18
22
(-5)
(-4)
(-7)
4
4
7
3
9
2
5
3
5
8
4
3
2
8
(+11)
20
10
8
3
21
(+13)
5
1
10
4
(-3)
6
8
26
(-6)
15
5
6
5
3
6
7
4
9
(+15)
(-9)
(-5)
9
16
20
13
∆ 6 – 5 =20 – 9 – 13 = - 2
∆ 5 – 6 =13 – 9 – 20 = -16
∆ 5 – 4 =13 – 15 – 20 = - 22
∆ 4 – 5 =20 – 13 – 15 = - 8
∆ 9 – 3 =30 – 7 – 22 = 1
∆ 3 – 9 =22 – 7 – 30 = -15
∆ 10 – 9 =21 – 3 – 30 = - 12
∆ 9 – 10 =30 – 3 – 21 = 6
3-яя итерация
30
18
22
(-5)
(-4)
(-7)
4
4
7
3
9
2
5
3
3
2
8
4
3
2
8
(+11)
20
10
8
27
(+13)
5
1
10
4
(-3)
6
8
26
(-6)
15
5
6
5
3
6
7
4
9
(+15)
(-9)
(-5)
9
22
26
13
∆ 6 – 5 =26 – 9 – 13 = 4
∆ 5 – 6 =13 – 9 – 26 = -22
∆ 5 – 4 =13 – 15 – 20 = - 22
∆ 4 – 5 =20 – 13 – 15 = - 8
∆ 9 – 3 =30 – 7 – 22 = 1
∆ 3 – 9 =22 – 7 – 30 = -15
∆ 10 – 8 =26 – 5 – 27 = - 6
∆ 8 – 10 =27 – 5 – 26 = -4
4-ая итерация
26
18
22
(-5)
(-4)
(-7)
2
4
7
3
9
2
5
5
5
6
4
3
2
8
(+11)
20
10
6
23
(+13)
5
1
10
4
(-3)
6
8
26
(-6)
15
5
8
7
3
6
7
4
9
2
(+15)
(-9)
(-5)
7
18
22
13
∆ 3 – 9 =22 – 7 – 26 = -11
∆ 9 – 3 =26 – 7 – 22 = -3
∆ 9 – 8 =26 – 4 – 26 = - 4
∆ 8 – 9 =26 – 4 – 26 = - 4
∆ 8 – 10 =26 – 5 – 23 = -2
∆ 10 – 8 =23 – 5 – 26 = -8
∆ 4 – 5 =20 – 15 – 13 = - 8
∆ 5 – 4 =13 – 15 – 20 = -22
Выводы:
Общие затраты на перевозку составляют: 224 единиц.
Базисный план является оптимальным.