Свойства колец

1. В любом кольце (K, +, ) уравнение a + x = b имеет единственное решение для любых a, b  K:

х = b + (– a).

Поскольку (K, +) – группа, для каждого a  K существует противоположный элемент – a  K такой, что a + (– a) = 0. Прибавив к обеим частям уравнения – a, получим решение x = b + (– a).

Если y – другое решение данного уравнения, то a + x = b и a + y = b  a + x = a + y , прибавляя – a к обеим частям последнего равенства, получаем x = y.

Определение 4.1.6. Сумма a + (– b) называется разностью элементов a и b и обозначается a – b. Таким образом,  (a, b) a – b – определена операция вычитания в любом кольце.

2. Умножение в кольце дистрибутивно относительно вычитания:

a  (b – c) = a  b – a  c и (b – c)  a = b  a – c  a для  a, b, c  K.

Умножение в кольце дистрибутивно относительно сложения. Поэтому

a  (b – c) + a  c = a  (b – c + с) = a  b  a  (b – c) = a  b – a  c;

(b – c)  a + c  a = (b – c + c)  a = b  a  (b – c)  a = b  a – c  a.

3. a  0 = 0  a = 0 для  a  K.

a  0 = a  (a – a) = a  a – a  a = 0; 0  a = (a – a)  a = a  a – a  a = 0.

4. Правила знаков:

a  (– b) = (– a)  b = – (a  b), (– a)  (– b) = a  b для  a, b  K.

Согласно законам дистрибутивности и свойству 3 имеем:

a  (– b) + a  b = a  (– b + b) = a  0 = 0  a  (– b) = – (a  b);

(– a)  b + a  b = (– a + a)  b = 0  b = 0  (– a)  b = – (a  b);

(– a)  (– b) + (– (a  b)) = (– a)  (– b) + (– a)  b = (– a)  (– b + b) = (– a)  0 = 0 

 (– a)  (– b) = – (– (a  b)) = a  b.

5. Если | K | > 1, то в кольце (K, +, ) с единицей 1  0.

0  K, так как (K, +) – группа. Поскольку | K | > 1, то в K  a  0. Пусть 1 = 0, тогда a  1 = a  0 a = 0, так как a  1 = a, а a  0 = 0. Полученное противоречие доказывает, что 1  0.

6. В ассоциативном кольце (K, +, ) с единицей делители нуля не обратимы.

Если бы для ненулевых элементов a, b  K произведение a  b = 0 и существовал b^–1  K, то a  b  b^–1 = 0. С другой стороны, a  b  b^–1 = a  (b  b^–1) = a  1 = a, откуда a = 0 – противоречие тому, что a  0. Аналогично, если сделать предположение, что существует а^–1  K, то получим противоречие тому, что b  0.

Свойства полей

Для полей справедливы все свойства колец. Будем обозначать в дальнейшем поле (Р, +, ). Также отметим специфические свойства полей.

1. В поле нет делителей нуля.

Пусть в поле (Р, +, ) существуют a  0, b  0, для которых a  b = 0, тогда  а^–1  Р ^* = P\{0}. Умножив последнее равенство слева на а^–1, получим: а^–1  (a  b) = (а^–1  a)  b = b = 0, что противоречит тому, что b  0.

2. В поле уравнение a  x = b для  a  Р ^*,  b  Р имеет единственное решение:

x = а^–1  b.

Так как a  Р ^*, то  а^–1  Р ^*. Умножая a на а^–1  b, получаем b, поэтому x = а^–1  b – решение уравнения. Если y – другое решение, то a  x = a  y, умножая слева обе части равенства на а^–1, получаем, что x = y.

§4.2. Подкольца. Идеалы колец

Определение 4.2.1. Подкольцо кольца (K, +, ) – это подгруппа L аддитивной группы (K, +), в свою очередь являющаяся кольцом, то есть замкнутая относительно операции умножения в кольце K:

1) для  l₁, l₂ L l₁ – l₂ L;

2) для  l₁, l₂ L l₁  l₂ L.

Обозначения: L  K и L < K, если L  K.

Пример 4.2.1.

1. {0} и K – тривиальные подкольца произвольного кольца (K, +, ), все остальные подкольца в K называются нетривиальными или собственными.

2. (nZ, +, ·), – подкольцо кольца (Z, +, ·). Это подколько – кольцо без единицы при , хотя само кольцо (Z, + ,·) обладает единицей.

3. (Z, +, ·) < (Q, +, ·) < (R, +, ·) < (C, +, ·).

4. (Z) < (Q) < (R) < (C) для .

5. Матричное кольцо M₂(R) содержит подкольцо матриц , а оно, в свою очередь, содержит подкольцо скалярных матриц . Это коммутативные подкольца некоммутативного кольца M₂(R). Также подкольцами M₂(R) являются множества матриц , , , .

Определение 4.2.2. Непустое подмножество ,   P, поля (P, +, ) называют подполем поля P, если  само является полем, то есть

1)  – подкольцо кольца P;

2) для    ,   0,   ^–1 .

В этом случае поле (P, +, ) называется расширением поля (, +, ). Последовательность расширений полей P₁  P₂  …  P_n, где nN_3, называется башней расширений полей.

Например, (Q, +, ·) – подполе (R, +, ·) и (C, +, ·), а (R, +, ·) – подполе (C, +, ·) согласно примеру 3 из 4.2.1 и определению 4.2.2. Поэтому Q  R  C – башня расширений полей.

В теории колец наибольшее значение имеют подкольца специального вида, которые называются идеалами.

Определение 4.2.3. Подкольцо J кольца K называется левым идеалом кольца (K, +, ), если для любых k  K и j  J выполняется jk  J то есть . Если же для всех k  K, то J называют правым идеалом кольца. Двусторонний идеал кольца – идеал, являющийся одновременно и левым, и правым. Обозначение двустороннего идеала: JK.

Ясно, что в коммутативном кольце все идеалы двусторонние.

Пример 4.2.2.

1. {0} и K – тривиальные двусторонние идеалы любого кольца (K, +, ).

2. mZ = {mq | qZ} – двусторонний идеал кольца целых чисел (Z, +, ) для всякого целого числа m. Отметим, что для – mZ = mZ. Очевидно mZ  Z, если |m|  1. Ясно, что, например, Z2Z4Z8Z16Z…, Z2Z6Z18Z...

3. В кольце (Z/nZ, +, ) c составным n = pq, где 1 < p, q < n, множество классов вычетов замкнуто относительно операций сложения и умножения классов вычетов и, следовательно, образует подкольцо. Обозначим его через . Легко видеть, что – двусторонний идеал. Аналогично, двусторонним идеалом является множество .

4. В матричном кольце M₂(R) подкольца J₁ и J₂ – правые идеалы (можно убедиться, что не левые), а J₃ и J₄ – левые идеалы (можно убедиться, что не правые).

Определение 4.2.4. Для каждого элемента a кольца (K, +, ) множество aK = {ak | k  K} есть левый идеал кольца K, называемый главным левым идеалом, порожденным элементом a. Аналогично определяется главный правый идеал, порожденный элементом а, Ka. Двусторонний главный идеал, порожденный элементом а, является одновременно левым и правым, он обозначается < a >.

Определение 4.2.5. Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется кольцом главных идеалов.

В собственных идеалах не может быть обратимых элементов колец, так как иначе 1  J, тогда J = K, что приводит к противоречию. Поскольку в поле все элементы, кроме 0, обратимы, то в поле нет собственных идеалов. С другой стороны, необратимые элементы кольца, в том числе и делители нуля, порождают главные собственные идеалы. Отсюда, в частности, также следует, что в поле нет делителей нуля.

Теорема 4.2.1. (Z, +,·) – кольцо главных идеалов.

В (Z, +,·), как в коммутативном кольце, все идеалы являются двусторонними.

1. J = {0} – главный идеал. Действительно, {0} = < 0 > = {0·k | k  Z}.

2. Пусть теперь идеал J  {0}. Докажем, что если t – наименьшее натуральное число из J, то < t > = J.

Так как t  J, то < t > = {kt | k  Z}  J. Пусть m  J, согласно теореме 1.1.1 справедливо представление m = qt + r, где q, r  Z, 0 r < t. Тогда m – qt = r, и если r0, то в J содержится натуральное число r, меньшее t. Итак, m = qt, таким образом, m  < t >, следовательно, J < t >. Поэтому, J = < t >.

Замечание. Согласно теореме 4.2.1 все идеалы J кольца (Z, +,·) имеют вид < t >, где t = 0 или t – наименьшее натуральное число из J. Поскольку < t > = tZ = – tZ = < – t >, как уже отмечалось в примере 2 из 4.2.2, в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением идеалов кольца (Z, +,·) вида < t >, где t  Z_0.

Определение 4.2.6. Собственный идеал кольца называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом собственном идеале данного кольца.

Рассмотрим вопрос о максимальности идеалов в кольце (Z, +, ), которое согласно теореме 4.2.1 является кольцом главных идеалов. Очевидно, что идеал < m > является собственным в (Z, +, )  m > 1.

Теорема 4.2.2. Идеал < m > максимален в (Z, +, ) тогда и только тогда, когда m – простое число.

Необходимость. Пусть < m > – максимальный идеал в (Z, +, ). Если m – составное число, то m = n q, где 1< n, q < m, и m  < n >, но n  < m >, поскольку . Следовательно, < m >  < n >  Z, что противоречит максимальности идеала < m >. Поэтому, m – простое число.

Достаточность. Пусть m – простое число. Рассмотрим идеал < m > в (Z, +, ). Если < m > – не максимальный идеал, то , 1< n, такое, что < m >  < n >  Z. Тогда m = n q для некоторого q  N, 1< q, что противоречит тому, что число m простое. Значит, < m > – максимальный идеал в (Z, +, ).