Комментарий[править | править вики-текст]

Данное определение означает^[1], что определена операция сложения элементов пространства   (называемых точками аффинного пространства) с векторами из пространства   (которое называют пространством свободных векторов для аффинного пространства  ), удовлетворяющая следующим аксиомам:

1.  для всех   и всех  ;

2.  для всех  ;

3. для любых двух точек   существует единственный вектор   (обозначаемый   или  ) со свойством  .

Таким образом, образ действия   на   обозначается  .

Связанные определения[править | править вики-текст]

Возможно рассматривать^[2] произвольные линейные комбинации точек аффинного пространства. Однако результат обретает смысл в следующих двух случаях:

• комбинация — барицентрическая (то есть сумма её коэффициентов равна 1), и тогда она будет точкой из  ;

• комбинация — сбалансированная (то есть сумма её коэффициентов равна 0), и тогда она будет вектором из  .

По аналогии с понятием линейной независимости векторов вводят понятие аффинной независимости точек аффинного пространства. Именно: точки  называют^[3] аффинно зависимыми, если какую-либо из них, скажем,  , можно представить в виде барицентрической комбинации остальных точек. В противном случае эти точки называются аффинно независимыми.

Условию аффинной независимости точек можно придать иную форму: справедливо предложение, по которому точки аффинного пространства аффинно независимы тогда и только тогда, когда не существует нетривиальной сбалансированной комбинации данных точек, равной нулевому вектору^[4].

Размерность аффинного пространства равна^[5] по определению размерности соответствующего пространства свободных векторов. При этом число точек в максимальном аффинно независимом множестве точек аффинного пространства оказывается на единицу больше размерности пространства.

Любое из максимальных аффинно независимых множеств точек аффинного пространства можно трактовать как точечный базис (перенумеровав данные точки тем или иным способом). Всякую точку пространства можно представить в виде барицентрической комбинации точек, входящих в точечный базис; коэффициенты этой комбинации называют^[6] барицентрическими координатами рассматриваемой точки.

Аффинное подпространство ― подмножество   векторного пространства  , являющееся сдвигом какого-либо его линейного подпространства  , то есть множество   вида   при некотором  .

Множество   определяет   однозначно, тогда как   определяется только с точностью до сдвига на вектор из  . Размерность   определяется как размерность подпространства  .

Аффинное подпространство, которому соответствует подпространство коразмерности 1, называется гиперплоскостью.

Аксиомы аффинного пространства и N-мерное аффинное пространство: -мерным аффинным пространством над полем   называется множество точек и векторов, удовлетворяющих следующим аксиомам:

1. Существует по меньшей мере одна точка¹⁾.

2. Каждой паре точек  , заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор, который обозначается через  .

3. Для каждой точки   и каждого вектора   существует одна и только одна точка   такая, что  ²⁾.

4. (Аксиома параллелограмма.) Если  , то  .

5. Каждому вектору   и каждому числу   поставлен в соответствие определенный вектор, который обозначается   и называется произведением вектора   на число  .

6.  для любого вектора  .

7.  для всех  .

8.  для любых векторов  .

9.  для всех  .

10. Существует   линейно независимых векторов, но любые   векторов линейно зависимы между собой.

Евклидово аффинное пространство :

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция   обладающая следующими тремя свойствами:

• Билинейность: для любых векторов   и для любых вещественных чисел   и 

• Симметричность: для любых векторов 

• Положительная определённость: для любого   причём 

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством^[1].

Пример евклидова пространства — координатное пространство   состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел   скалярное произведение в котором определяется формулой