Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Автоматизация деятельности банков (Мет пособие)

.pdf
Скачиваний:
113
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
2.37 Mб
Скачать

Э1+…+Эd+…+ЭД=Э Gd<<G

Пример:

Рассматривается система: У – устройство приемное.

Б – блок обработки.

С – суммирующее устройство.

Требуется определить математическое ожидание объема информации принятого, обработанного на интервале [0,t] и вероятность безотказной работы каждого элемента на этом интервале 0,9.

n

Э= Эi Hi i=1

Свяжем состояние системы с вероятностью ее функционирования. У12 – 40% получаемой информации.

У34 – 60% получаемой информации.

Каждый блок или работает или не работает. Общее число состояний 27=128.

Можем уменьшить число состояний. За 40% ответственны блоки У121,С – это 1ая группа. За 60% ответственны блоки У342,С – это 2ая группа.

Х = работает; !Х – не работает.

S111,!У21,С) – 1ый работает, далее комбинации. S111,!У2,!Б1,С)

S111,!У2,!Б1,!С)

S111,!У21,!С)

S11212,!Б1,С) – 1 ый и второй работают, остальные комбинации

S11212,!Б1,!С)

S112121,!С)

S112121,С)

S12(!У121,С)

S12(!У12,!Б1,С)

S12(!У12,!Б1,!С)

S12(!У121,!С)

S10(!У1,!У21,С) – 1 ый и второй не работает. S10(!У1,!У2,!Б1,С)

S10(!У1,!У2,!Б1,!С)

S10(!У1,!У21,!С)

Красным помечены состояния, у которых эффективность 0. Их мы убираем.

H11=P1(1-P2)PБ1Pc=0,073

H12=P2(1-P1)PБ1Pc=0,073 H112=P1P2PБ1Pc=0,657

Блоки У1 У2 одинаковой мощности, обеспечивают равные доли эффекта.

Э11=0,2 I

51

Э12=0,2 I

Э112=0,4 I I – information

S233,!У42,С)

S24(!У342,С)

S224342,С)

H23=0,073

H24=0,073

H224=0,657

Э23=0,3 I

Э24=0,3 I

Э224=0,6 I

2

Эdν Hdν = 0,2I 0,073 + 0,4I 0,657 + 0,2I 0,073 +

Э =

+ 0,3I 0,073 + 0,6I 0,657 + 0,3I 0,073 = 0,365I

d =1ν =1,12,2(при_ d =1)

 

ν =3,34,4(при_ d =2)

 

При разбиении G на d групп при двоичных состояниях (работает/не работает) число состояний уменьшается в

d2 раз.

ПРИМЕР ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВТОРОЙ ГРУППЫ ДЛЯ СИСТЕМ ДЛИТЕЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ

Рассматриваются варианты информационной подсистемы АСУБД (автоматические системы управления безопасности движения). Варианты систем отличаются месторасположением и числом радиолокационных станций. Рассмотрим 2 варианта:

Зона ответственности (прямоугольник), зона обнаружения и наблюдения за воздушным объектом с заданным качеством (окружность):

Рис???

Внутри круга обнаружение Р0>=P0порог, среднеквадратичное отклонение: σx,y,h<=σпорог

Красная пунктирная линия – траектория полета. Точки – точки в которых определяется положение системы. Эти точки спроецированы на прямую времени. Качество информации, которую мы получаем оценивается в каждой точке (k1..k7). Свяжем состояния системы с обнаружением воздушного объекта.

Система 1:

Н0 – ни один не видит объект.

Н1 – первый видит, второй не видит. Н2 – второй видит, первый не видит. Н12 – оба видят.

Система 2:

Н0 – ни один не видит объект.

Н1 – первый видит, остальные не видят. Н2 – второй видит, остальные не видят. Н3 – третий видит, остальные не видят. Н12 – 1,2 видят, остальные не видят.

Н13 – 1,3 видят, остальные не видят. Н23 – 2,3 видят, остальные не видят.

H

0

(1P (1))

 

 

H 1

= P (3) (1P (3))

 

1

1

 

 

3

1

2

H

1

= P (1)

 

 

H 2

= P (3) (1P (3))

 

1

1

 

 

3

2

1

H

0

= (1P (3))(1P (3))

 

H 12

= P (3) P (3)

 

3

1

2

 

3

2

1

H

3

= P (3)(1P (3))(1P (3))

 

 

 

 

3

3

1

2

 

 

 

КЛАССИФИКАЦИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

Оценка эффективности

 

 

 

показателя

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Путем сравнения данной системы с оптимальной и оптимально функционирующей. Суть – вводится

 

 

 

понятие «идеальной системы» и с ней сравниваются другие.

2

 

 

Экстремум

функционала, называемого

показателем

цели управления. Цель управления, например,

52

 

 

обеспечить на данный момент на такой-то момент времени.

3

 

Выполнение системой функциональных обязанностей:

 

 

Надежность.

 

 

Степень простоты обслуживания.

 

 

Величина ущерба при отказе.

 

 

Наличие резервов.

4

 

Вероятность выполнения системой своих задач.

5

 

Функция ошибок. Он развернут во времени, т.е. отслеживается динамика изменения ошибок.

6

 

Вероятность выполнения задачи на требуемом уровне за определенное время.

7

 

Вероятность того, что система будет удовлетворять заданным техническим условиям, в заданных

 

 

условиях эксплуатации в течение требуемого периода времени.

8

 

Степень приближения конструкции к эталонной конструкции, апробированной на практике.

9

 

Максимум вероятности того, что система удовлетворяет всем заданным техническим требованиям.

10

 

Эффективность системы определяется показателем практической оптимальности.

11

 

Эффективность определяется по одному из частных показателей: быстродействие, СКО ошибки,

 

 

надежность.

12

 

Эффективность оценивается векторным показателем. В качестве такого показателя рассматривается

 

 

совокупность показателей качества.

 

Эти показатели можно свести в следующие группы:

 

 

 

 

Номера

 

 

Оценка эффективности

показателей

 

1,8

 

 

По эффективности системы эталона

2,5

 

 

По экстремуму целевой функции

4,6

 

 

По вероятности выполнения задачи без учета экономических факторов.

3

 

 

По вероятности выполнения задачи с учетом экономических факторов.

7,9

 

 

По максимуму вероятности того, что система удовлетворяет всем заданным техническим

 

 

 

требованиям.

11

 

 

По частным показателям.

10,12

 

 

По совокупности конструктивных, эксплуатационных и экономических факторов.

Показатели 2, 3, 10 – не имеют физического смысла, но позволяют сравнивать системы по эффективности. Показатели 3,4,6,7,9,10 – рассчитываются по статистическим данным.

Показатели 3,5-7,10,12 – оперируют вероятностью выполнения задачи. Наиболее правильный подход.

Показатель практической оптимальности системы (10)

n

bi yi

γ = i=1

c

b – весовые коэффициенты. y – частные показатели.

с – стоимость.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ, ОПЕРАЦИЙ, ПРОЦЕССОВ

КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ И МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

1.План снабжения предприятий. Есть поставщики, есть потребители, необходимо так обеспечить сырьем, чтобы минимизировать, например транспортные расходы.

2.Планирование, внедрение сырья в производство.

3.Продажа сезонных товаров. Организуется ярмарка – определить количество товаров для получения максимальной прибыли.

4.Военные операции.

Общее в задачах:

Все задачи развернуты во времени.

Есть условия зависящие от нас и не зависящие.

Необходимо принять оптимальное решение. Решение включает параметры операции. Динамика процесса – это и есть операция.

Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимального решения.

53

Вводим вектор X=(x1,…,xi,… xn) – вектор решений. Множество управляемых условий проведения операций: {α }.

Множество неуправляемых условий проведения операций: {β } .

Для количественного исследования операций вводится показатель эффективности – Е, и строится математическая модель операции:

E / = (x X ,{α },{β })

/= - оператор модельного отображения. Он показывает, с помощью какой математики мы строим модель, т.е. указывает на аппарат.

Написанное выше выражение читается так: найти такое х, принадлежащее Х, которое обеспечило экстремум Е с учетом совокупности α и β .

Применяемые разделы математики применяемые: Математическое программирование. Теория массового обслуживания.

Теория игр. Теория графов.

Методы Монте-Карло (статистических испытаний). Теория расписаний.

Комбинаторика. Теория автоматов.

ПОСТАНОВКА ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Рассматривается класс задач, для которого математическая модель операций имеет вид:

E / = (x X ,{α },{β }) extr ,

т.е. β известна и вся поглощена α . Необходимо найти такой х, принадлежащий Х, которые бы обеспечили

экстремум Е с учетом ограничений на Х. Ограничения на Х отражаются совокупностью α . Задачи с такой постановкой - задачи математического программирования.

Математическое программирование – метод, указывающий вычислительную процедуру, которая приводит к решению задачи, т.е. программу решения задачи. Виды задач МП:

Линейное программирование. Развито. Нелинейное программирование. Динамическое программирование. Стохастичное программирование. Квадратичное программирование. Многоцелевое программирование.

Наиболее изучены задачи линейного программирования. Вид такой задачи:

E = c1 x1 + c2 x2 + ...+ cn xn extr

Ограничения накладываемые на целевую функцию:

a11x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn ()b1

am1 x1 + am2 x2 + ...+ amn xn ()bm

x1…xn – компоненты решения.

сi и аj – коэффициенты.

m – число уравнений ограничений.

Все задачи линейного программирования приводят к общему виду (основная задача линейного программирования):

E = c1x1 + c2 x2 + ... + cn xn max (**)

a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

 

am1x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm

(*)

Все неравенства заменены равенствами.

Допустимые решения ОЗЛП: набор неотрицательных (x1…xn) которые бы удовлетворяли системе (*). Оптимальное решение (x*1…x*n) – то из допустимых, которое приводит к экстремуму функций (**).

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Есть пункты отправления: {Aj} Есть пункты назначения: {Bi}

Известна стоимость перевозки единицы топлива, запасы и потребность. Необходимо найти план перевозок, который бы минимизировал затраты на перевозку.

{Aj}

{Bi}

Запасы топлива

54

 

B1

B2

B3

 

А1

С11=4

С12=9

С13=3

а1=20

А2

С21=4

С22=8

С23=1

а2=30

Потребность

b1=10

b2=30

b3=10

 

Общая стоимость перевозки: С=С11Х11+ С12Х12+ С13Х1321Х21+ С22Х22+ С23Х23 Больше, чем есть в пункте мы не вывезем:

Все больше 0:

x11 + x12x21 + x22

x11 + x21x12 + x22x13 + x23

x > 0

ij

+x13 a1

+x23 a2

=b1

=b2

=b3

ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛП К ОЗЛП

Максимизировать целевую функцию Е=4X1-X2+2X3 при ограничениях: 3X1+2X2-X3>=4

X1-2X2+3X3<=10 X1,X2,X3>=0

3X1+2X2-X3-4>=0 X1-2X2+3X3-10<=0

3X1+2X2-X3-4>=0 -X1+2X2-3X3+10<=0

3X1+2X2-X3-4=Y1 -X1+2X2-3X3+10=Y2

X1,X2,X3,Y1,Y2>=0

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ОЗЛП И СПОСОБЫ ЕГО НАХОЖДЕНИЯ

Есть ограничения:

 

A11X1+…+A1nXn=B1 (1)

 

 

Am1X1+…+AmnXn=Bm

 

И целевая функция: C1X1+…+CnXn -> max

(2)

1.m=n – тогда привлекается аппарат обычной алгебры. Одно единственное решение.

2.m>n – поступаем, как и в случае 1, но до этого делаем так, чтобы m=n.

3.m<n – тогда система 1 имеет бесчисленное множество решений. Нас из этого множества интересуют только те наборы, которые положительны. Здесь варианты:

Система (1) несовместна. Решений нет.

Система совместна, но захватывает область отрицательных значений – решений нет.

ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОБЛАСТИ ДОПУСТИМЫХ РЕШЕНИЙ

Рассмотрим случай n>m на 2:

Определяют m базисных переменных. (n-m) – свободные переменные.

Уравнение (1) разрешают относительно базисных переменных.

55

X3, Xm – базисные переменные.

X1,X2 – свободные переменные.

X3=a31X1+a32X2+B3 (3)

Xn=an1X1+an2X2+Bn

X1,X2 – координата точки.

Получим уравнение прямой: X3=0: a31X1+a32X2+B3=0

Рис???

Нас интересуют решения правее этой прямой.

Для прямой x4 нас не устраивают решения ниже прямой, далее для x5

Часть полуплоскости, удовлетворяющая всем ограничениям, и будет областью допустимых решений. Подставив 3 в целевую функцию 2, получим запись целевой функции через X1,X2.

С=A31X1+A32X2+B3

C=U1X1+U2X2+U0

Если С принадлежит минимизации передвигаем параллельным переносом прямую назад и ищем минимальное значение.

Выводы:

Для оптимального решения, как минимум 2 переменные = 0. Оптимальное решение находится на одной из вершин многоугольника. Решения для вершин называются опорными решениями.

Оптимальное решение – это то из опорных, которое приводит к экстремуму целевую функцию С. Оптимальное решение отыскивается переходом от одной опорной точки к другой.

Симплекс-метод оптимизирует процедуру перебора опорных решений, т.е. следующее опорное решение не хуже предыдущего.

Эффективность симплекс-метода зависит от того, насколько быстро он приводит нас к оптимальному решению.

Рассмотрим случай, когда система не совместна.

ОДР не ограничена.

Бесчисленное множество решений.

56

ОПРДЕЛЕНИЕ БАЗИСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определить базисные переменные для E=3x1+2x2 -> max. Ограничения:

X1+3X2<=270 4X1+6X2<=600 3X1+X2<=240 X1,X2>=0

-X1-3X2+270>=0 -4X1-6X2+600>=0 -3X1-X2+240>=0

-X1-3X2+270=X3 -4X2-6X2+600=X4 -3X1-X2+240=X5 X1,X2,X3,X4,X5>=0

E=3X1+2X2 -> MAX X1+3X2+X3=270 4X1+6X2+X4=600 3X1+X2+X5=240 X1,X2,X3,X4,X5>=0

В качестве базисных переменных берем те переменные, которые входят в каждое из уравнений с коэффициентом 1 и исключена из остальных уравнений. В целевую функцию они входят с нулевыми коэффициентами. Берем: x3,x4,x5.

РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

См. условие выше.

x11 + x12

+ x13

20

x21 + x22 + x23

30

x11 + x21

= 10

 

x

+ x

22

= 30

 

12

+ x

= 10

 

x

23

 

13

 

 

 

Свободные переменные: x11,x12.

x13=20-x11-x12 x21=10-x11 x22=30-x12

x23=30-(10-x11)-(30-x12)=-10+x11+x12 C=330-2x11-x12 -> min x11,x12,x13,x21,x22,x23>0

Рис???

Решение:

{Aj}

{Bi}

 

 

Запасы топлива

 

B1

B2

B3

 

А1

x11=10

x12=10

x13=0

а1=20

А2

x21=0

x22=20

x23=10

а2=30

Потребность

b1=10

b2=30

b3=10

 

57

ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

В ряде случаев есть ограничения по целочисленности компонент входящих в задачу. Т.е. нас интересуют дискретные точки ОДР (ОДР превращается в набор дискретных точек). Оптимальное решение находится в одной из дискретных точек. Например, если бы мы в транспортной задаче везли бы станки.

С=c1x1+…+cnxn -> max

a11x1+…+a1nxn=b1 (1)

am1x1+…+amnxn=bm xi>=0, i принадлежит n1

xj>=0,целые, j принадлежит n2 n1 и n2=n

Это частично целочисленная задача. А если n2=n, то полностью.

Решаем задачу симплекс-методом. Если полученное решение целочисленно, то все в порядке. В ином случае применяем метод Гомори. Метод Гомори:

1.Вводится дополнительное ограничение (уравнение) в систему ограничений.

2.Это дополнительное ограничение проходит через дискреты ОДР и отсекает оптимальное решение.

3.Задача с расширением ограничений снова решается симплекс-методом. Если полученное решение дискретно, то все завершается, если нет, то вводится дополнительное ограничение.

Требование целочисленности ухудшает целевую функцию.

Пример: 21x1+11x2 -> max 7x1+4x2<=13 x1,x2>=0

x1,x2 – целые.

Решение симплекс-методом: x1=13/7; x2=0.

Попробуем просто округлить: x1=2, x2=0 – не попало в ОДР. x1=0, x2=1

x1=0, x2=2 x1=0, x2=0 x1=1, x2=0 x1=2, x2=1

x1=0, x2=3 – вот оптимальное решение.

Отказ от целочисленности называется ослаблением исходной задачи целочисленной задачи линейного программирования. Ослабление решается путем введения дополнительных ограничений на переменные.

Пример: 5x1+x2 -> max (1) 2x1+x3=3 (2) x1,x2>=0 (3) x1,x2 – целые (4)

Если решим без учета целочисленности: x1=3/2, x2=0; Введем дополнительное ограничение:

X1<=1 (5)

И решим с ограничениями 1,2,3,5. Решение x1=1, x2=1.

ВЫБОР КТС (КОМПЛЕКСНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ) НА РАННИХ СТАДИЯХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В КТС входят: технические средства, программные средства. Задача: необходимо выбрать КТС по 2м основным параметрам: Производительность процессора.

Емкость памяти.

Y1 – производительность процессора.

Y2 – емкость памяти.

Они не определены – будем их рассматривать, как случайные величины. К1 и К2 – требуемые значения, соответственно процессора и памяти.

58

α 1

K1

 

α 2

 

 

 

 

Y1

β 1

 

K2

β 2

 

 

 

 

 

Y2

α1, β1 - заданный уровень дефицита. α2, β2 - заданный уровень избытка.

α=0,7 α=1,4 β=0,9 β=1,5

СтоимостьКТС<=5.

Разработчик обладает следующей статистикой по Y: Табл 1.

Y1

0,2*106

 

0,4*106

0,6*106

0,8*106

1*106

 

1,4*106

1,6*106

P(Y1)

0,05

 

 

0,1

 

0,3

0,3

 

0,1

 

0,1

0,05

 

Табл 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y2

0,3

 

0,5

0,7

0,9

 

1,5

2,5

 

 

 

 

 

P(Y2)

0,06

0,05

0,1

0,4

 

0,3

0,1

 

 

Разработчик располагает 5 альтернативами КТС: Таблица 3.

Si

S1

S2

S3

S4

S5

k1i

0,3

0,6

0,9

1,5

2,5

k2i

0,5

1,0

1,5

2,0

3,0

k3i

0,7

1,2

2,2

3,5

4,6

k3i – стоимость.

Выбрать из этих 5 вариантов комплекс, который бы удовлетворял заказчика. В качестве критерия выбора разработчик предлагает степень удовлетворения требований:

???

При этом разработчик имеет положительный опыт использования математического программирования. Решаем задачу в условиях риска (параметры У1 и У2 имеют распределение).

Критерий эффективности выбора:

???

Задача свелась к целочисленной модели программирования. Переход к матожиданию:

???

Вводим ограничения на компоненты, входящие в целевую функцию: Выбираем только 1 вычислительный комплекс из той 5ки, которую имеем: ???

???

Теперь запишем задачу в числовом виде. М1 рассчитываем с помощью Табл 1:

???

М2 рассчитываем с помощью Табл 2:

???

Преобразуем таблицу 3:

Si

S1

S2

S3

S4

S5

k1i1

0,48

0,96

1,45

2,4

3,75

k2i2

0,55

1,1

1,65

2,2

3,3

E=1,03X1+2,06X2+3,1X3+4,6X4+7,05X5->max

???

Решим эту задачу, но предварительно сузим пример: ограничимся первыми тремя вычислительными комплексами:

Параметры

 

ВК

 

 

1

2

3

k1i

0,3

0,6

0,9

k2i

0,5

1

1,5

k3i

0,7

1,2

2,2

Возьмем только следующие ограничения (для упрощения решения):

???

59

 

Распределение

Варианты Y1,Y2

 

 

1

2

 

3

 

 

Y2

0,2

0,4

 

0,6

 

 

P(Y1)

0,3

0,4

 

0,3

 

 

Y2

0,3

0,5

 

0,7

 

Получили:

P(Y2)

0,2

0,5

 

0,3

 

 

 

 

 

 

 

M1=3, M2=2,1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si

S1

S2

 

S3

 

k1i1

0,9

1,8

 

2,7

 

 

k2i2

1,05

2,1

 

3,15

 

 

k1i1+ k2i2

1,95

3,9

 

5,85

 

Запишем формальную постановку задачи:

???

При ограничениях:

???

Приведем эту задачу к ОЗЛП: 0,9x1+1,8x2+2,7x3+x4=1,5 1,05x1+2,1x2+3,15x3-x5=0,9 0,7x1+1,2x2+2,2x3+x6=2

x1+x2+x3=1 xi=0;1 i=1,2,3. X4,x5,x6>=0

Уйдем от x3 заменой: X3=1-x1-x2.

Получаем:

F(X)=5,85 -3,9x1-1,95x2->max 1,8x1+0,9x2-x4=1,2 2,1x1+1,05x2+x5=2,25

???

Алгоритм:

1.Решается задача до получения оптимального плана.

2.Если оптимальное решение целочисленное, то процесс заканчивается, если нет, то переходим к следующему пункту.

3.На основании последней симплекс-таблицы оптимального плана для базисной переменной, имеющей наибольшую дробную часть, строится сечение. Сечение – это дополнительное ограничение.

4.Добавление сечения к условиям оптимального нецелочисленного плана приводит к расширенной задаче, после чего возврат к пункту 1.

1.Определим начальный опорный план. Для этого исходную задачу разрешим относительно базисных переменных:

х3 – х6. X3=1-x1-x2

X4=-1,2+1,8x1+0,9x2

X5=2,25-2,1x1-1,05x2 X6=-0,2+1,5x1+x2 Xi=0;1, i=1,2,3 X4,x5,x6>=0

???F(X)=5,85-3,9x1-1,95x2

2. Заносим задачу в симплекс-таблицу

Базисные переменные

Свободные члены

Свободные переменные

 

 

-x1

-x2

i

Х3

1

1

1

1

Х4

-1,2

-1,8

-0,9

2

Х5

2,25

2,1

1,05

3

Х6

-0,2

-1,5

-1

4

F

5,85

3,9

1,95

5

j

0

1

2

 

Т.к. среди СЧ есть отрицательные – план не является опорным. Алгоритм нахождения начального опорного

плана:

60

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.