Автоматизация деятельности банков (Мет пособие)

Э12=0,2 I

Э112=0,4 I I – information

S23(У3,!У4,Б2,С)

S24(!У3,У4,Б2,С)

S224(У3,У4,Б2,С)

H23=0,073

H24=0,073

H224=0,657

Э23=0,3 I

Э24=0,3 I

Э224=0,6 I

При разбиении G на d групп при двоичных состояниях (работает/не работает) число состояний уменьшается в

d2 раз.

ПРИМЕР ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВТОРОЙ ГРУППЫ ДЛЯ СИСТЕМ ДЛИТЕЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ

Рассматриваются варианты информационной подсистемы АСУБД (автоматические системы управления безопасности движения). Варианты систем отличаются месторасположением и числом радиолокационных станций. Рассмотрим 2 варианта:

Зона ответственности (прямоугольник), зона обнаружения и наблюдения за воздушным объектом с заданным качеством (окружность):

Рис???

Внутри круга обнаружение Р0>=P0порог, среднеквадратичное отклонение: σx,y,h<=σпорог

Красная пунктирная линия – траектория полета. Точки – точки в которых определяется положение системы. Эти точки спроецированы на прямую времени. Качество информации, которую мы получаем оценивается в каждой точке (k1..k7). Свяжем состояния системы с обнаружением воздушного объекта.

Система 1:

Н0 – ни один не видит объект.

Н1 – первый видит, второй не видит. Н2 – второй видит, первый не видит. Н12 – оба видят.

Система 2:

Н0 – ни один не видит объект.

Н1 – первый видит, остальные не видят. Н2 – второй видит, остальные не видят. Н3 – третий видит, остальные не видят. Н12 – 1,2 видят, остальные не видят.

Н13 – 1,3 видят, остальные не видят. Н23 – 2,3 видят, остальные не видят.

52

Показатели 2, 3, 10 – не имеют физического смысла, но позволяют сравнивать системы по эффективности. Показатели 3,4,6,7,9,10 – рассчитываются по статистическим данным.

Показатели 3,5-7,10,12 – оперируют вероятностью выполнения задачи. Наиболее правильный подход.

Показатель практической оптимальности системы (10)

n

∑bi yi

γ = i=1

c

b – весовые коэффициенты. y – частные показатели.

с – стоимость.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ, ОПЕРАЦИЙ, ПРОЦЕССОВ

КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ И МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

1.План снабжения предприятий. Есть поставщики, есть потребители, необходимо так обеспечить сырьем, чтобы минимизировать, например транспортные расходы.

2.Планирование, внедрение сырья в производство.

3.Продажа сезонных товаров. Организуется ярмарка – определить количество товаров для получения максимальной прибыли.

4.Военные операции.

Общее в задачах:

Все задачи развернуты во времени.

Есть условия зависящие от нас и не зависящие.

Необходимо принять оптимальное решение. Решение включает параметры операции. Динамика процесса – это и есть операция.

Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимального решения.

53

Вводим вектор X=(x1,…,xi,… xn) – вектор решений. Множество управляемых условий проведения операций: {α }.

Множество неуправляемых условий проведения операций: {β } .

Для количественного исследования операций вводится показатель эффективности – Е, и строится математическая модель операции:

E / = (x X ,{α },{β })

/= - оператор модельного отображения. Он показывает, с помощью какой математики мы строим модель, т.е. указывает на аппарат.

Написанное выше выражение читается так: найти такое х, принадлежащее Х, которое обеспечило экстремум Е с учетом совокупности α и β .

Применяемые разделы математики применяемые: Математическое программирование. Теория массового обслуживания.

Теория игр. Теория графов.

Методы Монте-Карло (статистических испытаний). Теория расписаний.

Комбинаторика. Теория автоматов.

ПОСТАНОВКА ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Рассматривается класс задач, для которого математическая модель операций имеет вид:

E / = (x X ,{α },{β }) → extr ,

т.е. β известна и вся поглощена α . Необходимо найти такой х, принадлежащий Х, которые бы обеспечили

экстремум Е с учетом ограничений на Х. Ограничения на Х отражаются совокупностью α . Задачи с такой постановкой - задачи математического программирования.

Математическое программирование – метод, указывающий вычислительную процедуру, которая приводит к решению задачи, т.е. программу решения задачи. Виды задач МП:

Линейное программирование. Развито. Нелинейное программирование. Динамическое программирование. Стохастичное программирование. Квадратичное программирование. Многоцелевое программирование.

Наиболее изучены задачи линейного программирования. Вид такой задачи:

E = c1 x1 + c2 x2 + ...+ cn xn → extr

Ограничения накладываемые на целевую функцию:

a11x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn ≤ (≥ )b1

am1 x1 + am2 x2 + ...+ amn xn ≤ (≥ )bm

x1…xn – компоненты решения.

сi и аj – коэффициенты.

m – число уравнений ограничений.

Все задачи линейного программирования приводят к общему виду (основная задача линейного программирования):

E = c1x1 + c2 x2 + ... + cn xn → max (**)

Все неравенства заменены равенствами.

Допустимые решения ОЗЛП: набор неотрицательных (x1…xn) которые бы удовлетворяли системе (*). Оптимальное решение (x*1…x*n) – то из допустимых, которое приводит к экстремуму функций (**).

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Есть пункты отправления: {Aj} Есть пункты назначения: {Bi}

Известна стоимость перевозки единицы топлива, запасы и потребность. Необходимо найти план перевозок, который бы минимизировал затраты на перевозку.

54

Общая стоимость перевозки: С=С11Х11+ С12Х12+ С13Х13+С21Х21+ С22Х22+ С23Х23 Больше, чем есть в пункте мы не вывезем:

Все больше 0:

ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛП К ОЗЛП

Максимизировать целевую функцию Е=4X1-X2+2X3 при ограничениях: 3X1+2X2-X3>=4

X1-2X2+3X3<=10 X1,X2,X3>=0

3X1+2X2-X3-4>=0 X1-2X2+3X3-10<=0

3X1+2X2-X3-4>=0 -X1+2X2-3X3+10<=0

3X1+2X2-X3-4=Y1 -X1+2X2-3X3+10=Y2

X1,X2,X3,Y1,Y2>=0

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ОЗЛП И СПОСОБЫ ЕГО НАХОЖДЕНИЯ

1.m=n – тогда привлекается аппарат обычной алгебры. Одно единственное решение.

2.m>n – поступаем, как и в случае 1, но до этого делаем так, чтобы m=n.

3.m<n – тогда система 1 имеет бесчисленное множество решений. Нас из этого множества интересуют только те наборы, которые положительны. Здесь варианты:

Система (1) несовместна. Решений нет.

Система совместна, но захватывает область отрицательных значений – решений нет.

ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОБЛАСТИ ДОПУСТИМЫХ РЕШЕНИЙ

Рассмотрим случай n>m на 2:

Определяют m базисных переменных. (n-m) – свободные переменные.

Уравнение (1) разрешают относительно базисных переменных.

55

X3, Xm – базисные переменные.

X1,X2 – свободные переменные.

X3=a31X1+a32X2+B3 (3)

…

Xn=an1X1+an2X2+Bn

X1,X2 – координата точки.

Получим уравнение прямой: X3=0: a31X1+a32X2+B3=0

Рис???

Нас интересуют решения правее этой прямой.

Для прямой x4 нас не устраивают решения ниже прямой, далее для x5…

Часть полуплоскости, удовлетворяющая всем ограничениям, и будет областью допустимых решений. Подставив 3 в целевую функцию 2, получим запись целевой функции через X1,X2.

С=A31X1+A32X2+B3

C=U1X1+U2X2+U0

Если С принадлежит минимизации передвигаем параллельным переносом прямую назад и ищем минимальное значение.

Выводы:

Для оптимального решения, как минимум 2 переменные = 0. Оптимальное решение находится на одной из вершин многоугольника. Решения для вершин называются опорными решениями.

Оптимальное решение – это то из опорных, которое приводит к экстремуму целевую функцию С. Оптимальное решение отыскивается переходом от одной опорной точки к другой.

Симплекс-метод оптимизирует процедуру перебора опорных решений, т.е. следующее опорное решение не хуже предыдущего.

Эффективность симплекс-метода зависит от того, насколько быстро он приводит нас к оптимальному решению.

Рассмотрим случай, когда система не совместна.

ОДР не ограничена.

Бесчисленное множество решений.

56

α1, β1 - заданный уровень дефицита. α2, β2 - заданный уровень избытка.

α=0,7 α=1,4 β=0,9 β=1,5

СтоимостьКТС<=5.

Разработчик обладает следующей статистикой по Y: Табл 1.

Разработчик располагает 5 альтернативами КТС: Таблица 3.

k3i – стоимость.

Выбрать из этих 5 вариантов комплекс, который бы удовлетворял заказчика. В качестве критерия выбора разработчик предлагает степень удовлетворения требований:

???

При этом разработчик имеет положительный опыт использования математического программирования. Решаем задачу в условиях риска (параметры У1 и У2 имеют распределение).

Критерий эффективности выбора:

???

Задача свелась к целочисленной модели программирования. Переход к матожиданию:

???

Вводим ограничения на компоненты, входящие в целевую функцию: Выбираем только 1 вычислительный комплекс из той 5ки, которую имеем: ???

???

Теперь запишем задачу в числовом виде. М1 рассчитываем с помощью Табл 1:

???

М2 рассчитываем с помощью Табл 2:

???

Преобразуем таблицу 3:

E=1,03X1+2,06X2+3,1X3+4,6X4+7,05X5->max

???

Решим эту задачу, но предварительно сузим пример: ограничимся первыми тремя вычислительными комплексами:

Возьмем только следующие ограничения (для упрощения решения):

???

59