2) Уче­ник мог по­лу­чить такие баллы: 66, 72, 78, 84. Тогда сред­ний балл по четырём пред­ме­там со­ста­вит

3) Уче­ник мог по­лу­чить такие баллы: 66, 100, 67, 67. Тогда сред­ний балл по четырём пред­ме­там со­ста­вит 

4) Из­вест­но, что вы­пуск­ник по­лу­чил по ма­те­ма­ти­ке 66 бал­лов, если бы по осталь­ным пред­ме­там он на­брал мень­ше 76 бал­лов, то тогда сред­ний балл по всем пред­ме­там был бы мень­ше 75. Такая си­ту­а­ция про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи. Таким об­ра­зом, из при­ведённых утвер­жде­ний вер­ными яв­ля­ют­ся утвер­жде­ние 1 и 4.

 Ответ: 14.

19. При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, крат­но­го 45, сумма цифр ко­то­ро­го на 1 мень­ше их про­из­ве­де­ния. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние. Если число де­лит­ся на 45, то оно также де­лит­ся на 5 и на 9. Если число де­лит­ся на 5, то его по­след­нюю цифра равна 0 или 5, а если число де­лит­ся на 9, то и сумма его цифр тоже де­лит­ся на 9. Пусть наше число имеет вид abcd, тогда усло­вие можно за­пи­сать вот так:

Бла­го­да­ря пер­во­му не­ра­вен­ству, сумма цифр может иметь всего 4 зна­че­ния: 9, 18, 27 и 36. Так как , сумма не может быть равна 36. Также d не может рав­нять­ся 0, так как тогда бы про­из­ве­де­ние рав­ня­лось 0, а этого быть не может. Зна­чит, 

Если сумма равна 9, то про­из­ве­де­ние равно  . Тогда   а осталь­ные цифры при­ни­ма­ют зна­че­ния из на­бо­ра 1, 1, 2.

Если сумма равна 18, то про­из­ве­де­ние равно 19, что яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом, то есть его нель­зя раз­ло­жить на про­из­ве­де­ние чисел мень­ших 10.

Если сумма равна 27, то про­из­ве­де­ние равно   5 не вхо­дит в раз­ло­же­ние, про­ти­во­ре­чие.

Итого имеем числа: 1125, 1215, 2115.

20. На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии крас­но­го, жёлтого и зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным ли­ни­ям, по­лу­чит­ся 5 кус­ков, если по жёлтым — 7 кус­ков, а если по зелёным — 11 кус­ков. Сколь­ко кус­ков по­лу­чит­ся, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цве­тов?

По­яс­не­ние. Каж­дый рас­пил уве­ли­чи­ва­ет ко­ли­че­ство кус­ков на один. То есть всего 4 крас­ные линии, 6 жёлтых и 10 зелёных. То есть вме­сте 20 линий. А кус­ков по­лу­чит­ся 21.