Примеры дифференцирующих звеньев

Выходная величина этого звена определяется не столько текущим значением входного воздействия, сколько скоростью его изменения (производной от входной величины). При скачкообразном изменении входной величины на выходе идеального дифференцирующего звена получается мгновенный импульс с бесконечно большой амплитудой, соответствующей бесконечно большой скорости изменения входной величины в момент скачка, а затем выходная величина принимает постоянное нулевое значение. Звено называется идеальным потому, что на практике получить импульс бесконечной амплитуды невозможно из-за ограничнности характеристик реальных автоматических систем и конечного значения мощности источников энергии.

Переходная характеристика идеального дифференцирующего звена

Передаточная функция дифференцирующего звена

 

Амплитудная частотная характеристика идеального дифференцирующего звена изображена на рисунке

Амплитудная частотная характеристика дифференцирующего звена

Идеальное дифференцирующее звено создает постоянное опережение по фазе приближающееся к 90 градусам.

Фазовая частотная характеристика идеального дифференцирующего звена

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика идеального дифференцирующего звена приведена на рисунке

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика дифференцирующего звена

Наличие идеального дифференцирующего звена в основном контуре системы автоматического регулирования означает введение производной в закон регулирования и обычно бывает полезно для улучшения качества регулирования и обеспечения устойчивости автоматической системы.

Апериодическое звено первого порядка. Понятием апериодического звена объединяют такие устройства, в которых выходная величина после подачи на вход единичного воздействия изменяется монотонно, достигая некоторого установившегося значения в течение определенного времени. Такие устройства можно рассматривать как два соединенных между собой элемента, один из которых способен запасать энергию или вещество, а второй создает сопротивление перемещению энергии или вещества.

В качестве примеров апериодических звеньев первого порядка можно рассматривать двигатель любого типа (электрический, гидравлический, пневматический), механические характеристики которого (зависимость крутящего момента от частоты вращения) могут быть представлены в виде параллельных прямых. Апериодическими звеньями первого порядка являются пневматические резервуары, любые электрические RC- и RL-цепи и т.д.

Дифференциальное уравнение апериодического звена может быть записано так

Переходная функция апериодического звена первого порядка определяется выражением

и представляет собой экспоненциальную зависимость.

Переходная характеристика апериодического звена первого порядка

Передаточная функция апериодического звена

Из графика переходного процесса апериодического звена можно найти значение коэффициента усиления k и постоянной времени Т. Величина коэффициента усиления определяется аналогично тому, как это было описано для пропорционального звена. Постоянная времени Т апериодического звена численно равна отрезку времени, за который выходная величина, изменяясь от 0, достигнет 63 % от установившегося значения. Для большинства практических случаев исследования апериодических звеньев первого порядка можно считать, что переходный процесс в нем заканчивается к моменту времени t = 3Т. Это дает возможность экспериментального определения постоянных времени объектов, динамические свойства подобны апериодическим звеньям. Для этого экспериментально снимают график переходного процесса, если он представляет экспоненциальную зависимость или близкую к ней, то поделив время переходного процесса на три получаем экспериментальной значение постоянной времени звена или автоматической системы в целом.

Важность этого заключения невозможно переоценить. С одной стороны признаки апериодического звена проявляет множество реальных элементов автоматических систем, например, двигатели внутреннего сгорания, электрические машины постоянного и переменного тока, разнообразные тепловые и гидравлические устройства и т.п., а с другой - аналитическое определение постоянной времени для таких объектов представляет зачастую очень трудную, а иногда и неразрешимую задачу. Например, в выражение постоянной времени дизеля входят: механические параметры (трение, сила инрции, . . .), тепловые (температуры газов, температуры деталей, . . .), гидравличнеские (давление, плотность, . . .), комплексные (зависимости механических параметров от температуры, зависимость гидравлических параметров от частоты вращения и температуры, . . .) и т.д.

Частотные характеристики апериодического звена первого порядка могут быть получены из выражения для передаточной функции путем формальной замены аргумента р аргументом j

Модуль этой функции представляет собой амплитудную частотную характеристику апериодического звена первого порядка.

 ,

которая представлена на рисунке

Амплитудная частотная характеристика апериодического звена первого порядка

Аргумент этой функции   является фазовой частотной характеристикой апериодического звенапервого порядка

Фазовая частотная характеристика апериодического звена первого порядка

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика апериодического звена первого порядка определяется из выражения

и приведена на рисунке

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика апериодического звена первого порядка при k = 1

Легко понять, что каждое слагаемое этого выражения есть либо прямая линия, либо асимптотически приближается к прямым линиям при устремлении частоты к нулю и к бесконечности. Наклон аппроксимирующих прямых всегда кратен 20 дБ за декаду.

Апериодическое звено второго порядка. Дифференциальное уравнение апериодического звена второго порядка имеет вид

В первом приближении апериодическое звено второго порядка можно представить в виде последовательного соединения апериодических звеньев первого порядка с общим коэффициентом усиления k = k₁ k₂ и постоянными времени T₂ = T₃ T₄ и T₁ = T₃ + T₄ .

Переходная характеристика апериодического звена второго порядка строится как сумма переходных характеристик последовательно соединенных звеньев

Примером апериодического звена второго порядка может служить электродвигатель постоянного тока при отсутствии момента сопротивления на валу и при учете переходных процессов в цепи якоря.

Построение ЛАЧХ для данного звена производится аналогично тому, как это было сделано для апериодического звена первого порядка по выражению

Колебательное звено. Под колебательным звеном понимают такие устройства, в которых выходная величина после подачи на их вход единичного воздействия стремится к установившемуся значению, совершая колебания. Такие устройства должны содержать два элемента, способные запасать энергию или вещество и обмениваться этими запасами через третий элемент, создающий сопротивление перетеканию энергии или вещества.

Примерами колебательных звеньев могут служить RLC-цепи, упругие механические передачи для передачи поступательного или вращательного движения и т.п.

Примеры колебательных звеньев

Дифференциальное уравнение устойчивого колебательного звена в классической форме

,

где  - коэффициент демпфирования.

Передаточная функция устойчивого колебательного звена:

Переходная характеристика устойчивого колебательного звена при различных значениях сочеиания постоянных времениT₁ и Т₂ представлена на рисунке

Переходные характеристики устойчивого колебательного звена

Частотные характеристики устойчивого колебательного звена могут быть получены из выражения для передаточной функции путем формальной замены аргумента р аргументом j

.

Модуль этой функции представляет собой амплитудную частотную характеристику устойчивого колебательного звена

,

которая представлена на рисунке

Амплитудная частотная характеристика устойчивого колебательного звена

Аргумент этой функции

является фазовой частотной характеристикой колебательного звена.

Фазовая частотная характеристика колебательного звена

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика колебательного звена вычисляется по выражению

и приведена на рисунке

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика колебательного звена при k = 1

Наклонная часть логарифмической амплитудная частотная характеристики колебательного звена имеет наклон - 40 дБ/дек.

Если коэффициент  равен нулю (отсутствует рассеяние энергии), то передаточная функция колебательного звена имеет вид

Систему, имеющую такую передаточную функцию, называют консервативной. Такая система не рассеивает энергии и в ней протекают незатухающие колебания.

Переходная характеристика консервативного колебательного звена

Рассмотренные выше варианты звеньев второго порядка относятся к устойчивым или звеньям с самовыравниванием. Под самовыравниванием понимается способность звена самопроизвольно приходить к новому установившемуся значению при ограниченном изменении входной величины или возмущающего воздействия. Термин самовыравнивание обычно применяется для звеньев, представляющих собой объекты регулирования.

Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины или возмущающего воздействия не вызывает прихода звена к новому установившемуся состоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания во времени.

Если один из коэффициентов в знаменателе отрицателен, то колебания выходной величины с течением времени возрастают. Передаточная функция такого звена имеет вид: 

Такое звено называют неустойчивым колебательным звеном

Переходная характеристика неустойчивого колебательного звена

Звено запаздывания. Под звеном с постоянным запаздыванием объединяются такие устройства, у которых выходная величина воспроизводит без искажения все изменения входной величины с некоторым постоянным запаздыванием Исходя из этого определения, уравнение такого звена:

Работа звена с постоянным запаздыванием

Передаточная функция звена с постоянным запаздыванием

Переходная характеристика звена с постоянным запаздыванием представлена на рисунке

Переходная характеристика звена с постоянным запаздыванием

Амплитудная частотная характеристика   представлена на рисунке

Амплитудная частотная характеристика звена запаздывания

Фазовая частотная характеристика звена с постоянным запаздыванием () = - изображена на рисунке

Фазовая частотная характеристика звена с постоянным запаздыванием

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика звена с постоянным запаздыванием L() = 0 .

Идеальные и реальные звенья. Рассмотренные интегрирующее и дифференцирующее звенья называются идеальными. Некоторые элементы систем автоматического регулирования имеют передаточные функции

Такие звенья называются соответственно реальным дифференцирующим и реальным интегрирующим звеном.

Примерами реальных дифференцирующих звеньев является дифференцирующая RC- цепочка или гидравлическое изодромное устройство. Электродвигатель постоянного тока при учете электромеханической постоянной времени является реальным интегрирующим звеном. Наличие выражения (Тр + 1) в знаменателе передаточных функций реальных звеньев указывает на инерционность процессов дифференцирования и интегрирования, влияние которой легко усмотреть по переходным характеристикам идеальных и реальных звеньев. Поэтому иногда реальные дифференцирующие и интегрирующие звенья называют соответственно инерционно-дифференцирующим иинерционно-интегрирующим.

Переходная характеристика инерционно-дифференцирующего звена

Переходная характеристика инерционно-интегрирующего звена

Строго говоря, реальные звенья не являются типовыми, так как они могут быть представлены комбинацией нескольких типовых звеньев. Однако они потверждают существенные различия между идеальными и реальными процессами, происходящими в элементах автоматической системы.