2.1. Модели линейного программирования
(8 Часов)
Модели линейного программирования применяются для определения оптимального способа распределения дефицитных ресурсов при наличии конкурирующих потребностей.
В зависимости от числа неизвестных в задаче, решение может быть выполнено двумя методами: графическим или симплексным.
Графический
метод
применяется для решения задач с двумя
неизвестными
,
,
все условия выражаются в виде линейных
ограничений и записывается целевая
функция Z.
Первый шаг при использовании графического
метода заключается
в геометрическом представлении допустимых
решений, т. е. построении области
допустимых значений, в которой одновременно
удовлетворяются все ограничения модели.
Условия неотрицательности переменных
и
ограничивают область их допустимых
значений первым квадрантом. Другие
границы пространства решений изображены
на плоскости прямыми линиями, построенными
по уравнениям, которые получаются при
замене знака
на знак = в остальных ограничениях.
Области, в которых выполняются
соответствующие ограничения в виде
неравенств, указываются стрелками,
направленными в сторону допустимых
значений переменных. В каждой точке,
принадлежащей внутренней области или
границам многоугольника решений, все
ограничения выполняются, поэтому
решения, соответствующие этим точкам,
являются допустимыми.
Пространство решений содержит бесконечное число таких точек, но, несмотря на это, можно найти оптимальное решение, выяснив, в каком направлении возрастает (или убывает) целевая функция. На график наносят ряд параллельных линий, соответствующих уравнению целевой функции при нескольких произвольно выбранных и последовательно возрастающих значениях Z, что позволяет определить наклон целевой функции и направление, в котором происходит ее увеличение (уменьшение). Чтобы найти оптимальное решение, следует перемещать прямую Z в направлении возрастания (убывания) целевой функции до тех пор, пока она не сместится в область недопустимых решений.
Пример 3. Цех выпускает в смену трансформаторы двух видов. Для их изготовления используются железо и проволока. Общий запас железа – 24 кг, проволоки – 18 кг. На один трансформатор первого вида расходуются 3 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида – 4 кг железа и 2 кг проволоки. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает прибыль 4 д. е., второго – 2 д. е.
Необходимо составить план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу максимальную прибыль в смену, если в смену должно выпускаться не менее 4 трансформаторов 1-го вида.
В
данной задаче две неизвестные:
– выпуск трансформаторов Т1 за смену,
– выпуск трансформаторов Т2 за смену.
Ограничения накладываются на запасы железа и проволоки, а также на выпуск трансформаторов Т1 за смену:
Целевая функция
имеет вид:
.
Определяем точки, необходимые для построения множества допустимых значений:
:
,
.
:
,
.
–
любое значение
(вертикальная прямая).
Для построения
целевой функции
(значение
выбрано произвольно):
,
.
Рис. 1. Графическое решение задачи
Из рис. 1 видно, что точкой максимума является точка В (точка пересечения прямых (2) и (3)), координаты которой можно определить как решение системы
Подставляя значение
в первое уравнение системы, получаем
значение
.
Целевая функция принимает значение
.
Таким образом, может быть сделан следующий вывод: максимальная прибыль 20 д. е. будет получена при выпуске за смену и реализации 4 трансформаторов Т1 и 3 трансформаторов Т2.