2.2. Исследование качества системы

_{2.2.1. Уравнение переходного процесса в системе}

_{Передаточная функция замкнутой системы [2]:}

₍₉₎

где А(р) и С(p) – степень полинома от p, тогда дифференциальное уравнение системы в операторной форме будет иметь вид:

С(p)·y(p) = A(p)·x(p), (10)

где р - оператор дифференцирования; y(p)- выходной сигнал системы; x(t)- входное воздействие.

Входным воздействием принимается единичная ступенчатая функция x(t) = 1(t), а выражение С(p) подставим из (7), А(р) принимаем равным К. Тогда уравнение системы (10) примет следующий вид:

(11)

_{2.2.2. Построение графика переходного процесса}

Построение графика переходного процесса (рис. 8) в системе по средствам программной среды MathCAD. Так как исходное уравнение имеет вид (11), то дифференцирование входного сигнала x(t)=1(t) в правой части уравнения приведет к бесконечно большой величине, что повлечет за собой ошибку в программной среде. Чтобы решение уравнения стало возможным, структуру системы следует преобразовать к виду, показанному на рис. 7. Такое преобразование приводит к тому, что исходное уравнение (11) распадается на два уравнения (12) [1]:

Рис.7. Преобразованная структура системы

Новой структуре соответствует система уравнений [1]:

₍₁₂₎

При численном решении дифференциального уравнения n-го порядка преобразуем в систему из n уравнений первого порядка. Для этого выполняем подстановку вида:

z(t)=z₁(t), z^’(t)=z₂(t) (13)

В результате подстановки можно записать систему уравнений следующего вида:

(14)

Для решения системы в MathCAD необходимо указать следующие параметры:

Исходное уравнение:

(15)

Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта:

(16)

где: - начальные условия.

n – 2000 число точек решения; tk = 20 конечное время решения; D – исходное уравнение.

Конечный результат для вычисления переходного процесса:

(17)

_{Представим найденные значения в таблице 4}

_{Таблица 4. Расчет точек для Z(t)}

Расчет точек для графика переходного процесса представим в таблице 5

Таблица 5. Расчет точек для графика переходного процесса

_{Получим график переходного процесса, представленный на рис. 8}

_{Рис. 8. График переходного процесса рассматриваемой системы}

_{По графику и согласно таблицам 4 и 5 время переходного процесса равно}

_{2.2.3. Оценка качества исследуемой системы}

По графику переходного процесса и по логарифмической характеристикtе системы производим оценку качества исследуемой системы, приведенной к устойчивости. Для оценки пользуемся следующими показателями:

1. Вид переходного процесса

2. Длительность переходного процесса

3. Величина перерегулирования

4. Запас устойчивости системы по фазе

5. Запас устойчивости системы по амплитуде

Согласно графику переходного процесса (рис.8) переходный процесс имеет колебательный периодический характер.

Длительность переходного процесса для системы удовлетворительного качества должна лежать в пределах:

< t_пп < (18)

По графику на чертеже КР-2068.998-26-09-00.00.000.Д. лист1 определяем частоту среза: ω_с=13 оценим время переходного процесса: 0,24< 0,46 <0,0,97

Длительность переходного процесса определим как время, прошедшие от начала переходного процесса (t=0) до момента установления величины выходного сигнала, отличающейся не более чем на 5% от установившегося значения. По графику переходного процесса определяем его длительность: t_пп = 0,025 с.

Это значение удовлетворяет границам оценочного времени переходного процесса.

Величина перерегулирования определяется из соотношения (в процентах):

(19)

где , - наибольшее и установившееся значения выходного параметра, определяемые по графику переходного процесса.

Запасы устойчивости системы, определяемые по логарифмическим характеристикам, характеризуют степень устойчивости системы.

Запас устойчивости системы по фазе определяется через фазовый угол системы на частоте среза ω_с:

(20)

где: - фазовый сдвиг, определяем по графику на чертеже КР-2068.998-26-09-00.00.000.Д. лист1

φ_з =180⁰ – 140⁰ = 40⁰

Чтобы система обладала достаточным качеством, запас устойчивости по фазе должен быть не менее 20˚- 50˚. Система удовлетворяет этому условию.

Запас устойчивости по амплитуде определяется по графику на чертеже КР-2068.998-26-09-00.00.000.Д. лист1 как ордината ЛАХ на частоте фазового угла, равного π:

(21)

L_з = дБ

Запас по амплитуде должен быть не менее |15|дБ. В данной системе запас по амплитуде равен бесконечности, что говорит об отсутствии перерегулирования в системе.

2.2.4. Оценка точности системы

Оцениваются статическая и вынужденная ошибки системы. Для этого необходимо определить передаточную функцию замкнутой системы по ошибке [2]:

(22)

Так как в исследуемой системе присутствует интегрирующее звено то система является астатической и следовательно статическая ошибка равна 0.

_{Определим вынужденную ошибку системы:}

_{, (23)}

_{где -коэффициенты ошибок.}