3. Метод искусственного базиса

Симплекс-метод применяется для решения задач ЛП, представленных в специальной форме:

(3.1)

Характерная особенность задачи (3.1) – известное базисное допустимое решениеЧтобы применить симплекс-метод для решения задачи ЛП в произвольной форме, необходимо привести эту задачу к виду (3.1), т.е. выделить начальное допустимое базисное решение.

Для этого в симплекс-метод вводят подготовительный этап. Один из методов для реализации подготовительного этапа называется методом искусственного базиса и состоит в следующем .

Вычислительная схема метода искусственного базиса.

Шаг 1.Приводим задачу ЛП к канонической форме

(3.2)

с неотрицательными правыми частями .

Шаг 2.В каждуюi-ю строку ограничений (3.2) вводимискусственную неотрицательную переменнуюx_iи строимвспомогательную задачу ЛПвида:

(3.3)

Эта задача имеет допустимое базисное решение и легко может быть сведена к виду (3.2). Для этого целевую функцию необходимо выразить через свободные переменные:

Шаг 3.Для построенной вспомогательной задачи строим симплексную таблицу

	b		…
			…
			…
…	…	…………..
			…

и находим оптимальное решение вспомогательной задачи с помощью симплекс-метода.

Шаг 4.Еслии все переменныеявляются небазисными, тоmпеременных извойдут в базис и система ограничений, соответствующих симплексной таблице, будет иметь вид:

(3.4)

Так как переменные , то их исключили из системы (3.4), не нарушив при этом равенств. Выражая целевую функцию основной задачичерез небазисные переменныесистемы (3.4), получим исходную задачу (3.2) в виде (3.1).

Шаг 5.Если, но в базисе остались искусственные переменные, для которых(вырожденный случай), то проводим для каждой искусственной переменной из базиса следующее преобразование симплексной таблицы: выбираем ведущим столбцом столбец такой переменной, для которой элемент индексной строки, а элемент столбца .

В этом случае строка искусственной переменной будет ведущей и после стандартного преобразования симплексной таблицы (шаг 6 из прямого симплекс – метода) искусственная переменнаявыведется из базиса.

В результате получим симплексную таблицу, соответствующую шагу 4.

Шаг 6.Если, то допустимого решения в исходной задаче (3.2) не существует (не могут все искусственные переменныебыть равными нулю в задаче (3.3), а значит система ограничений задачи (4.2) несовместна) – процесс решения исходной задачи (3.2) завершается.

4. Реализация задачи

В данной работе решение задачи о размещениях рассматривалось на конкретном примере размещения двух модулей на плате, имеющей три места:

, ,

Перепишем ограничения в виде:

Функция Лагранжа:

Выписываем условия Куна-Такера:

Условия дополняющей нежесткости имеют вид:

Для решения используем метод искусственного базиса. Задача имеет вид:

Для решения данной задачи была использована программа для пересчета симплексной таблицы. Листинг программы представлен в приложении А.