1 Постановка задачи

Оптимизация межотраслевых потоков.

Пусть имеются n отраслей хозяйства, каждая из которых производит только свой один специфический вид продукции, причем каждый произведенный вид продукции используется (в частности в нулевом количестве) в производстве во всех n отраслях.

Пусть x_i – объем производства в i-й отрасли, y_i – объем продукта i-го вида для внепроизводственного потребления, a_ij – коэффициент прямых затрат продукции j – го вида на производстве в i-й отрасли единицы продукции i-го вида, N_i – максимально возможный объем производства в i-й отрасли, d_i – требуемое для внепроизводственного потребления количество продукции i-го вида, c_i – стоимость единицы продукции i-го вида.

Требуется найти такие возможные в заданных условиях объемы производства x_i и такой план выпуска конечной продукции y_i, i = 1,…,n, при котором максимизируется общая стоимость произведенного конечного продукта.

2 Построение аналитической модели

Цель оптимизации получение максимальной общей стоимости произведенного конечного продукта при заданных условиях.

Составим аналитическую модель задачи. Для этого сначала введем переменные, которые требуется определить:

- объемы производства в каждой отрасли.

- объемы продуктов каждого вида для внепроизводственного потребления

Максимизировать нужно общую стоимость произведенного конечного продукта. Целевая функция выглядит следующим образом:

Также необходимо учесть, что:

1. объем производства в отрасли не может быть больше максимально возможного.

2. объем продукции для внепроизводственного потребления не может быть меньше требуемого.

3. каждый произведенный вид продукции используется (в частности, в нулевом количестве) в производстве во всех отраслях.

Ограничения будут выглядеть следующим образом:

Задача относится к классу задач линейного программирования.

Для поиска оптимального решения воспользуемся симплекс методом.

3 Обзор численных методов решения задач лп

Рассмотрим задачу ЛП в канонической форме:

(1)

(2)

(3)

Будем предполагать, что , уравнения системы (2) линейно независимы и система (2) -(3) совместна.

При сделанных предположениях можно выбрать m неизвестных, таких, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не обращался в ноль. Тогда задача (1)-(3) может быть приведена к виду, который называется специальной формой задачи ЛП:

(4)

Одно из допустимых решений этой задачи можно найти, если переменные положить равными нулю. Такое решение называетсядопустимым базисным решением. Оно имеет вид:

Этому решению соответствует значение целевой функции . Переменныеназываютбазисными, а переменные называютнебазисными или свободными. Число возможных базисов в задаче размерности n с m ограничениями не превосходит величину .

Известно, что каждому допустимому базисному решению соответствует вершина многоугольника допустимых решений, и оптимальное решение задачи достигается в одной из вершин многоугольника. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП находится среди допустимых базисных решений. Существуют рациональные способы последовательного перебора допустимых базисных решений, которые позволяют рассматривать не все допустимые базисные решения, а их минимальное число. К таким методам относится симплекс-метод.