48. Понятие подпоследовательности.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера. Предел — одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Подпоследовательность последовательности — это последовательность , где — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел. Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов. Свойства: 1) Всякая последовательность является своей подпоследовательностью. 2) Для всякой подпоследовательности верно, что . 3)Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.4)Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны. 5) Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать δ_n = 1 / n и, выбирая в каждой δ-окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность).

49. Предел функции. Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к A. Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.Определение Коши. Число A называется пределом функции в точке x₀, если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех x из выколотой δ-окрестности точки x₀ выполняется неравенство . Окрестностное определение по Коши: Число A называется пределом функции в точке x₀, если для любой окрестности точки A существует выколотая окрестность точки x₀ такая, что образ этой окрестности лежит в . Фундаментальное обоснование данного определения предела см. в статье Предел вдоль фильтра. Свойства пределов числовых функций: Пусть даны функции и Тогда Предел единственен, то есть

50. Односторонние пределы функции в точке. Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва). Свойства: Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра. Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

51. Непрерывность функции. Непрерывная функция — это непрерывное отображение, которое определено для числовых пространств. Непрерывная функция — это числовая функция, которая обладает следующим свойством: при стремлении аргумента к заданному значению, значение функции стремится к значению функции в данной точке. Данное определение имеет смысл для предельных точек области определения. функция непрерывна в каждой изолированной точке области определения. Функция называется непрерывной (на заданном множестве), если она непрерывна в каждой точке данного множества. Непрерывность в точке: Функция f непрерывна в точке a, если для любой окрестности V(A) точки A = f(a) существует окрестность U_E(a) такая, что . Если функция непрерывна в точке a, то говорят, что функция f класса C и пишут: . На числовой прямой каждой окрестности можно сопоставить симметричную окрестность. Непрерывность на множестве: Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция f класса C и пишут: или, подробнее, . Класс C(E) представляет собой линейное пространство относительно операций сложения функций и умножения функции на число. В анализе наиболее часто рассматриваются функции, заданные на отрезке. Если E = [a,b], то пространство непрерывных функций, определённых на отрезке [a,b], вместе с заданной в нём метрикой равномерной сходимости обозначается C[a,b]. Это — полное метрическое пространство. Понятие односторонняя непрерывность: 1) если предел функции слева равен значению функции в данной точке, то говорят, что функция непрерывна слева в данной точке; 2) если предел функции справа равен значению функции в данной точке, то говорят, что функция непрерывна справа в данной точке; Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна одновременно и справа, и слева. Другими словами, для того, чтобы функция была непрерывной в точке, необходимо и достаточно, чтобы у этой функции существовали оба односторонних предела, оба были бы равны друг другу и равны значению функции в данной точке.

52. Точка разрыва. Точка разрыва- значение аргумента, при котором нарушается непрерывность функции. В простейших случаях нарушение непрерывности в некоторой точке а происходит так, что существуют пределы _; при стремлении x к а справа и слева, но хотя бы один из этих пределов отличен от f (a). В этом случае а называют Т.р. 1-го рода. Если при этом f (a + 0) = f (a —0), то разрыв называется устранимым, так как функция f (x) становится непрерывной в точке а, если положить f (a) = f (a + 0) = f (a — 0). Если же скачок d = f (a +0) — f (a — 0) функции f (x) в точке а отличен от нуля, то при любом определении значения f (a) точка а остаётся Р. т. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, то а называется Р. т. 2-го рода [примеры: точка а = 2 для функции , точка а = 0 для функции .

Классификация точек разрыва функции: Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке: 1) Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ; 2) Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая: 3)Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: Такая точка называется точкой устранимого разрыва: 1) Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.